$\triangle ABC$ において、$\sin A = 2 \cos B \sin C$ が成り立つとき、$\triangle ABC$ の形状を求めよ。

幾何学三角形三角比正弦定理余弦定理形状判定二等辺三角形
2025/8/2

1. 問題の内容

ABC\triangle ABC において、sinA=2cosBsinC\sin A = 2 \cos B \sin C が成り立つとき、ABC\triangle ABC の形状を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、a=2RsinAa = 2R \sin A, c=2RsinCc = 2R \sin C (ただし、RR は外接円の半径) が成り立つ。
したがって、sinA=a2R\sin A = \frac{a}{2R}sinC=c2R\sin C = \frac{c}{2R} となる。
与えられた式 sinA=2cosBsinC\sin A = 2 \cos B \sin C に代入すると、
a2R=2cosBc2R\frac{a}{2R} = 2 \cos B \frac{c}{2R}
a=2ccosBa = 2c \cos B
余弦定理より、cosB=c2+a2b22ca\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} が成り立つ。
これを代入すると、
a=2cc2+a2b22caa = 2c \cdot \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}
a=c2+a2b2aa = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{a}
a2=c2+a2b2a^2 = c^2 + a^2 - b^2
b2=c2b^2 = c^2
b=cb = c (∵ b>0b > 0, c>0c > 0
したがって、b=cb = c であるから、ABC\triangle ABC は二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

AB=ACAB = AC の二等辺三角形

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