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正三角形ABCにおいて、辺ABの中点をP、辺ACを2:1に内分する点をQとし、点Aから直線PQに下ろした垂線の足をHとする。$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{AH}$を$\vec{b}, \vec{c}$を使って表せ。

幾何学ベクトル正三角形内分垂線内積
2025/8/2

1. 問題の内容

正三角形ABCにおいて、辺ABの中点をP、辺ACを2:1に内分する点をQとし、点Aから直線PQに下ろした垂線の足をHとする。AB⃗=b⃗,AC⃗=c⃗\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}とするとき、AH⃗\vec{AH}をb⃗,c⃗\vec{b}, \vec{c}を使って表せ。

2. 解き方の手順

AP⃗=12b⃗\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{b}
AQ⃗=23c⃗\vec{AQ} = \frac{2}{3}\vec{c}
PQ⃗=AQ⃗−AP⃗=23c⃗−12b⃗\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}
Hは直線PQ上にあるので、実数kkを用いて、
AH⃗=AP⃗+kPQ⃗=12b⃗+k(23c⃗−12b⃗)=(12−k2)b⃗+23kc⃗\vec{AH} = \vec{AP} + k\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{b} + k(\frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}) = (\frac{1}{2} - \frac{k}{2})\vec{b} + \frac{2}{3}k\vec{c}
AH⃗⊥PQ⃗\vec{AH} \perp \vec{PQ}であるから、AH⃗⋅PQ⃗=0\vec{AH} \cdot \vec{PQ} = 0
AH⃗⋅PQ⃗=((12−k2)b⃗+23kc⃗)⋅(23c⃗−12b⃗)=0\vec{AH} \cdot \vec{PQ} = ((\frac{1}{2} - \frac{k}{2})\vec{b} + \frac{2}{3}k\vec{c}) \cdot (\frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}) = 0
正三角形なので、b⃗⋅b⃗=∣b⃗∣2=∣c⃗∣2=c⃗⋅c⃗\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}、b⃗⋅c⃗=∣b⃗∣∣c⃗∣cos60∘=12∣b⃗∣2\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|cos60^\circ = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2とする。
∣b⃗∣2=1|\vec{b}|^2=1としても一般性を失わない。
(12−k2)b⃗⋅(23c⃗−12b⃗)+23kc⃗⋅(23c⃗−12b⃗)=0(\frac{1}{2} - \frac{k}{2})\vec{b} \cdot (\frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}) + \frac{2}{3}k\vec{c} \cdot (\frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}) = 0
(12−k2)(23b⃗⋅c⃗−12∣b⃗∣2)+23k(23∣c⃗∣2−12b⃗⋅c⃗)=0(\frac{1}{2} - \frac{k}{2})(\frac{2}{3}\vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{1}{2}|\vec{b}|^2) + \frac{2}{3}k(\frac{2}{3}|\vec{c}|^2 - \frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{c}) = 0
(12−k2)(2312−12)+23k(23−1212)=0(\frac{1}{2} - \frac{k}{2})(\frac{2}{3}\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2}{3}k(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}\frac{1}{2}) = 0
(12−k2)(13−12)+23k(23−14)=0(\frac{1}{2} - \frac{k}{2})(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) + \frac{2}{3}k(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}) = 0
(12−k2)(−16)+23k(512)=0(\frac{1}{2} - \frac{k}{2})(-\frac{1}{6}) + \frac{2}{3}k(\frac{5}{12}) = 0
−112+k12+10k36=0-\frac{1}{12} + \frac{k}{12} + \frac{10k}{36} = 0
−112+3k36+10k36=0-\frac{1}{12} + \frac{3k}{36} + \frac{10k}{36} = 0
−112+13k36=0-\frac{1}{12} + \frac{13k}{36} = 0
13k36=112\frac{13k}{36} = \frac{1}{12}
13k=313k = 3
k=313k = \frac{3}{13}
AH⃗=(12−3/132)b⃗+23313c⃗\vec{AH} = (\frac{1}{2} - \frac{3/13}{2})\vec{b} + \frac{2}{3}\frac{3}{13}\vec{c}
AH⃗=(12−326)b⃗+213c⃗\vec{AH} = (\frac{1}{2} - \frac{3}{26})\vec{b} + \frac{2}{13}\vec{c}
AH⃗=(1326−326)b⃗+213c⃗\vec{AH} = (\frac{13}{26} - \frac{3}{26})\vec{b} + \frac{2}{13}\vec{c}
AH⃗=1026b⃗+213c⃗\vec{AH} = \frac{10}{26}\vec{b} + \frac{2}{13}\vec{c}
AH⃗=513b⃗+213c⃗\vec{AH} = \frac{5}{13}\vec{b} + \frac{2}{13}\vec{c}

3. 最終的な答え

AH⃗=513b⃗+213c⃗\vec{AH} = \frac{5}{13}\vec{b} + \frac{2}{13}\vec{c}

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