台形ABCDにおいて、$AD:BC=1:4$, $AP:PB=1:3$, $AD//PQ//BC$ である。$PQ=14$cmのとき、辺BCの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、$AD:BC=1:4$, $AP:PB=1:3$, $AD//PQ//BC$ である。$PQ=14$cmのとき、辺BCの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$AP:PB=1:3$より、$AB$を4等分したうちの$AP$が1に対応し、$PB$が3に対応します。

平行線と線分の比の関係より、$AD:PQ:BC = (AP):(AB) = 1:4$ とはなりません。

$AP:AB = 1:(1+3) = 1:4$

$AQ:AC = AP:AB = 1:4$

$PQ = x$ とすると、三角形ABCにおいて、

$AP:AB=PQ-AD:BC-AD$

$1:4 = (PQ-AD):(BC-AD)$

$BC-AD = 4(PQ-AD)$

$BC - AD = 4PQ - 4AD$

$BC = 4PQ - 3AD$

問題文より、$AD:BC=1:4$なので、$BC = 4AD$

$4AD = 4PQ - 3AD$

$7AD = 4PQ$

$PQ = 14$ より、$7AD = 4 * 14 = 56$

$AD = 56/7 = 8$

$BC = 4AD = 4 * 8 = 32$

もう一つの解き方

台形ABCDにおいて、ABとCDの交点をOとする。

三角形OADと三角形OBCは相似である。

相似比は、AD:BC = 1:4

三角形OAPと三角形OBCも相似である。

AP:PB = 1:3 なので、AP:AB = 1:4

AP:AB = 1:4 = 三角形OAP:三角形OBC の相似比

三角形OADと三角形OPQも相似である。

$AD:PQ = OA:(OA+AP) = 14$

$BC=4AD$ より

$PQ=\frac{AP}{AB}BC+\frac{PB}{AB}AD=\frac{1}{4}BC+\frac{3}{4}AD$

$14 = \frac{1}{4}BC + \frac{3}{4}(\frac{1}{4}BC)$

$14 = \frac{1}{4}BC + \frac{3}{16}BC$

$14 = \frac{4}{16}BC + \frac{3}{16}BC = \frac{7}{16}BC$

$BC = 14 * \frac{16}{7} = 2 * 16 = 32$

3. 最終的な答え

32cm