$a \neq 0, b \neq 0$ のとき、$(a-3b) // (a+b)$ ならば $a // b$ であることを示す。 ここで、$x // y$ は、$x$ と $y$ が平行であることを意味する。

1. 問題の内容

$a \neq 0, b \neq 0$ のとき、$(a-3b) // (a+b)$ ならば $a // b$ であることを示す。

ここで、$x // y$ は、$x$ と $y$ が平行であることを意味する。

2. 解き方の手順

二つのベクトルが平行であるということは、一方が他方の定数倍で表せるということである。

したがって、$(a-3b) // (a+b)$ は、ある実数 $k$ が存在して、

$a - 3b = k(a + b)$

と書けることを意味する。この式を変形して、$a$ と $b$ の関係を明らかにする。

$a - 3b = ka + kb$

$a - ka = kb + 3b$

$(1 - k)a = (k + 3)b$

ここで、$a$ と $b$ が平行であることを示すには、ある実数 $m$ が存在して $a = mb$ と書けることを示せば良い。

もし、$1 - k \neq 0$ ならば、$a$ を $b$ で表すことができる。

$a = \frac{k+3}{1-k}b$

$m = \frac{k+3}{1-k}$ とおけば、$a = mb$ となり、$a // b$ が示される。

次に、$1-k = 0$ すなわち、$k=1$ の場合を考える。

このとき、$(1-k)a = (k+3)b$ は、$0 = 4b$ となる。しかし、$b \neq 0$ であるから、これはありえない。

したがって、$k=1$ は起こりえない。

よって、$1-k \neq 0$ であり、$a = \frac{k+3}{1-k}b$ となるので、$a // b$ である。

3. 最終的な答え

$a \neq 0, b \neq 0$ のとき、$(a-3b) // (a+b)$ ならば $a // b$ である。