直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=3, AD=4, AE=2である。このとき、cos∠BDEの値を求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=3, AD=4, AE=2である。このとき、cos∠BDEの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、必要な線分の長さを求める。

* BEの長さを求める。

△ABEは直角三角形なので、三平方の定理より

$BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

* DEの長さを求める。

△ADEは直角三角形なので、三平方の定理より

$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

* BDの長さを求める。

△ABDは直角三角形なので、三平方の定理より

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

次に、余弦定理を用いてcos∠BDEの値を求める。

△BDEにおいて、余弦定理より

$BE^2 = BD^2 + DE^2 - 2 \cdot BD \cdot DE \cdot \cos∠BDE$

$\cos∠BDE = \frac{BD^2 + DE^2 - BE^2}{2 \cdot BD \cdot DE}$

それぞれの値を代入すると

$\cos∠BDE = \frac{5^2 + (2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{5}}$

$\cos∠BDE = \frac{25 + 20 - 13}{20\sqrt{5}} = \frac{32}{20\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{8\sqrt{5}}{25}$

したがって、dが正解です。