展開図が右図のようになる円錐の体積として正しいものを、選択肢a～eの中から選びなさい。円錐の展開図は、半径が5cmの扇形と、半径が3cmの円で構成されている。

1. 問題の内容

展開図が右図のようになる円錐の体積として正しいものを、選択肢a～eの中から選びなさい。円錐の展開図は、半径が5cmの扇形と、半径が3cmの円で構成されている。

2. 解き方の手順

まず、円錐の底面の円周の長さを求める。これは、展開図の底面の円の円周に等しい。

底面の円周は、$2 \pi r$ で求められるので、$2 \pi \times 3 = 6\pi$ である。

次に、円錐の母線の長さは、展開図の扇形の半径に等しいので、5cmである。扇形の弧の長さは円錐の底面の円周に等しいので、$6\pi$である。

扇形の中心角を $\theta$（ラジアン）とすると、扇形の弧の長さは $r\theta$ で表されるので、$5\theta = 6\pi$ より $\theta = \frac{6\pi}{5}$ となる。

次に、円錐の高さを $h$ とする。これは、ピタゴラスの定理を使って求めることができる。

$h^2 + 3^2 = 5^2$

$h^2 + 9 = 25$

$h^2 = 16$

$h = 4$

最後に、円錐の体積 $V$ を求める。円錐の体積は、$\frac{1}{3} \pi r^2 h$ で求められる。

$V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 4 = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 4 = 12 \pi$

3. 最終的な答え

c. $12 \pi$