三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 20^\circ$, $AB = 1$であるとき、$\frac{1}{AC} - BC$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 20^\circ$, $AB = 1$であるとき、$\frac{1}{AC} - BC$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle C$を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 20^\circ = 100^\circ$

次に、正弦定理を使います。

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$AB = 1$であるから、

$\frac{1}{\sin 100^\circ} = \frac{BC}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 20^\circ}$

したがって、

$BC = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 100^\circ}$

$AC = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 100^\circ}$

$\frac{1}{AC} = \frac{\sin 100^\circ}{\sin 20^\circ}$

求める値は$\frac{1}{AC} - BC$なので、

$\frac{1}{AC} - BC = \frac{\sin 100^\circ}{\sin 20^\circ} - \frac{\sin 60^\circ}{\sin 100^\circ}$

$\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$

$\frac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ} - \frac{\sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}$

ここで、$2\sin x \cos x = \sin 2x$を利用して、$\sin 80^\circ = 2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ = 4 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ$

$\frac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{4 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 20^\circ} = 4 \cos 20^\circ \cos 40^\circ$

また$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

求める式に代入すると

$4 \cos 20^\circ \cos 40^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2\sin 80^\circ}$

積和の公式より、$\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$

$4 \cos 20^\circ \cos 40^\circ = 2 (\cos 60^\circ + \cos 20^\circ) = 2(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ) = 1 + 2 \cos 20^\circ$

$1 + 2 \cos 20^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2\sin 80^\circ} = 1 + 2\cos 20^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2\cos 10^\circ}$

最終的な答えを推定するために、$100^\circ = 60^\circ + 20^\circ + 20^\circ$である事に注目して加法定理と余弦定理を適用し、$\frac{1}{AC} - BC = 0$を証明することで解決できる。

3. 最終的な答え

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