長方形ABCDの中に点Eがあり、$\angle BAE = 45^\circ$である。四角形ABCD, $\triangle ABE$, $\triangle AED$の面積がそれぞれ$80 cm^2$, $10 cm^2$, $16 cm^2$のとき、以下の問いに答える。 (1) $\triangle DEC$の面積を求める。 (2) 辺ABの長さを求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDの中に点Eがあり、$\angle BAE = 45^\circ$である。四角形ABCD, $\triangle ABE$, $\triangle AED$の面積がそれぞれ$80 cm^2$, $10 cm^2$, $16 cm^2$のとき、以下の問いに答える。

(1) $\triangle DEC$の面積を求める。

(2) 辺ABの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle DEC$の面積を求める。

長方形ABCDの面積は、$S_{ABCD} = 80 cm^2$。

$\triangle ABE$の面積は、$S_{ABE} = 10 cm^2$。

$\triangle AED$の面積は、$S_{AED} = 16 cm^2$。

$\triangle BCE$の面積は、$S_{BCE}$とする。

長方形ABCDの面積は、4つの三角形の面積の和で表せる。

$S_{ABCD} = S_{ABE} + S_{AED} + S_{DEC} + S_{BCE}$

したがって、$S_{DEC} = S_{ABCD} - S_{ABE} - S_{AED} - S_{BCE}$。

ここで、$S_{ABC} = \frac{1}{2}S_{ABCD} = 40 cm^2$。

また、$S_{ABC} = S_{ABE} + S_{BCE}$なので、$S_{BCE} = S_{ABC} - S_{ABE} = 40 - 10 = 30 cm^2$。

よって、$S_{DEC} = S_{ABCD} - S_{ABE} - S_{AED} - S_{BCE} = 80 - 10 - 16 - 30 = 24 cm^2$。

(2) 辺ABの長さを求める。

AB = CD = x, AD = BC = yとする。長方形ABCDの面積は$xy = 80$。

$\triangle ABE$の面積は$\frac{1}{2} \times AB \times AE \times \sin(\angle BAE) = 10$。

$\frac{1}{2} \times x \times AE \times \sin(45^\circ) = 10$

$\frac{1}{2} \times x \times AE \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$

$x \times AE = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}$

$\triangle AED$の面積は$\frac{1}{2} \times AD \times AE \times \sin(\angle DAE) = 16$。

$\angle DAE = 90^\circ - 45^\circ - \angle EAB$.

$\triangle ADE = 16$であることから、

$\triangle ACD = \frac{1}{2} xy = \frac{1}{2} \times 80 = 40$

$\triangle CDE = 24$なので、$\triangle ADE + \triangle ABE + \triangle BCE = 80-24= 56$

$16 + 10 + S_{BCE} = 56$

$S_{BCE} = 30$

$xy/2 - 10 = 30$

$xy/2 = 40$

$\triangle ABE = 1/2 \cdot AB \cdot h_1 = 10$

$\triangle AED = 1/2 \cdot AD \cdot h_2 = 16$

$AB \cdot h_1 = 20$

$AD \cdot h_2 = 32$

$AB=x$, $AD=y$とすると

$x y = 80$

$S_{ABE} / AB = h_1/2$

$S_{AED} / AD = h_2/2$

$\angle BAE = 45^\circ$を利用して、ABの長さを求める。

$S_{ABE}=\frac{1}{2}AB \cdot AE \sin(45^\circ)=10$ より、$\frac{\sqrt{2}}{4}AB \cdot AE=10$

$AE=\frac{20\sqrt{2}}{AB}$

$S_{AED}=\frac{1}{2}AD \cdot AE \sin(\angle DAE)=16$

ここで、AEとADの関係式を見つけることが困難。

$\triangle ABE$の面積：$\frac{1}{2} AB \cdot AE \cdot \sin{45^\circ} = 10$

$AB \cdot AE = \frac{40}{\sin{45^\circ}}=40\sqrt{2}$

$AE=\frac{40\sqrt{2}}{AB}$

$AD=80/AB$

AB = 4とする。AD = 20

AE = 10 root(2)

問題文より求める必要十分条件が揃っていない。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle DEC$の面積は $24 cm^2$。

(2) 辺ABの長さを求めることはできません。