正四角錐 ABCDE があり、すべての辺の長さが等しく、AB = 4 cm です。点 F は辺 BC の中点であり、点 G と H はそれぞれ辺 AC と AD 上を動きます。線分 EH, HG, GF の長さの和が最小になるとき、以下の問いに答えます。 (1) 線分 AG の長さを求めます。 (2) 線分 EH, HG, GF の長さの和を求めます。

1. 問題の内容

正四角錐 ABCDE があり、すべての辺の長さが等しく、AB = 4 cm です。点 F は辺 BC の中点であり、点 G と H はそれぞれ辺 AC と AD 上を動きます。線分 EH, HG, GF の長さの和が最小になるとき、以下の問いに答えます。

(1) 線分 AG の長さを求めます。

(2) 線分 EH, HG, GF の長さの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 線分 EH, HG, GF の長さの和を最小にするには、点 E, H, G, F を平面上に展開し、E と F を結ぶ直線が最も短くなるようにする必要があります。

展開図を考えると、E, H, G, F が一直線上に並ぶとき、EH + HG + GF が最小となります。

このとき、点 E, F はそれぞれ AB, BC の中点なので、$\angle EAF = \angle FAC = \angle GAD$ となります。また、AE = AF より、点 A から直線 EF に下ろした垂線の足が点 G になります。

正四角錐の展開図を考えます。

$\triangle ABC$ において、F は BC の中点なので、BF = FC = 2 cm です。

$\triangle ABE$ は正三角形であり、AE = 2 cm です。

直線 EF が最も短くなるのは、A, E, F が一直線上に並ぶときです。

このとき、EF = AE + AF = 2 + 2 = 4 cm です。

展開図上で、E, H, G, F が一直線上に並ぶとき、EH + HG + GF が最小となります。

$\triangle ABC$ は正三角形なので、$\angle BAC = 60^\circ$ です。

F は BC の中点なので、$\angle BAF = 30^\circ$ です。

AG は $\angle BAC$ の二等分線上にあるので、$\angle BAG = 30^\circ$ です。

$\triangle ABG$ において、$\angle ABG = 60^\circ$, $\angle BAG = 30^\circ$ なので、$\angle AGB = 90^\circ$ です。

したがって、$\triangle ABG$ は直角三角形です。

$AG = AB \cos 30^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ cm です。

(2) EH + HG + GF の最小値を求めます。

$\triangle AEF$において、AE = 2 cm, AF = 2 cm, $\angle EAF = \angle BAC + \angle CAD=60^\circ+60^\circ = 120^\circ$ です。

余弦定理より、$EF^2 = AE^2 + AF^2 - 2 AE AF \cos 120^\circ = 2^2 + 2^2 - 2(2)(2)(-\frac{1}{2}) = 4 + 4 + 4 = 12$

よって、$EF = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ cm です。

展開図において、EH + HG + GF の最小値は、E と F を結ぶ直線の長さ EF に等しいので、 $EF = 2\sqrt{3}$ cm です。

3. 最終的な答え

(1) 線分 AG の長さは $2\sqrt{3}$ cm です。

(2) 線分 EH, HG, GF の長さの和は $2\sqrt{3}$ cm です。