円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=5$, $BC=4$, $CD=4$, $\angle B=60^\circ$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $AC$ (2) $\angle D$ (3) $AD$

1. 問題の内容

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=5$, $BC=4$, $CD=4$, $\angle B=60^\circ$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $AC$

(2) $\angle D$

(3) $AD$

2. 解き方の手順

(1) $AC$ を求める。

$\triangle ABC$ において、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos B$

$AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2(5)(4)\cos 60^\circ$

$AC^2 = 25 + 16 - 40(\frac{1}{2})$

$AC^2 = 41 - 20 = 21$

$AC = \sqrt{21}$

(2) $\angle D$ を求める。

円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ であるから、

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

(3) $AD$ を求める。

$\triangle ADC$ において、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)\cos D$

$(\sqrt{21})^2 = AD^2 + 4^2 - 2(AD)(4)\cos 120^\circ$

$21 = AD^2 + 16 - 8(AD)(-\frac{1}{2})$

$21 = AD^2 + 16 + 4AD$

$AD^2 + 4AD - 5 = 0$

$(AD + 5)(AD - 1) = 0$

$AD = -5$ または $AD = 1$

$AD > 0$ より、 $AD = 1$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \sqrt{21}$

(2) $\angle D = 120^\circ$

(3) $AD = 1$