$\triangle ABC$ において、$\sin A = 2 \cos B \sin C$ が成り立つとき、$\triangle ABC$ の形状を答える。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\sin A = 2 \cos B \sin C$ が成り立つとき、$\triangle ABC$ の形状を答える。

2. 解き方の手順

正弦定理より、

$\sin A = \frac{a}{2R}$

$\sin C = \frac{c}{2R}$

（ただし $R$ は $\triangle ABC$ の外接円の半径）

与えられた条件式 $\sin A = 2 \cos B \sin C$ に代入すると、

$\frac{a}{2R} = 2 \cos B \frac{c}{2R}$

$2R$ を両辺にかけると、

$a = 2c \cos B$

余弦定理より、

$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

これを $a = 2c \cos B$ に代入すると、

$a = 2c \cdot \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

$a$ を両辺にかけると、

$a^2 = 2c \cdot \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2c}$

$a^2 = c^2 + a^2 - b^2$

$0 = c^2 - b^2$

$b^2 = c^2$

$b > 0$, $c > 0$ より

$b = c$

したがって、$\triangle ABC$ は $b = c$ の二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

$b = c$ の二等辺三角形