中心角が $120^\circ$、半径が $10$ cm の扇形 OAB があります。弧 AB 上の任意の点 P から、OA, OB に垂線 PM, PN を下ろしたとき、線分 MN の長さを求めてください。

1. 問題の内容

中心角が $120^\circ$、半径が $10$ cm の扇形 OAB があります。弧 AB 上の任意の点 P から、OA, OB に垂線 PM, PN を下ろしたとき、線分 MN の長さを求めてください。

2. 解き方の手順

まず、四角形OMPNに着目します。$\angle OMP = 90^{\circ}$, $\angle ONP = 90^{\circ}$なので、四角形OMPNは円に内接します。

四角形OMPNが内接する円の直径はOPです。

正弦定理を利用して、$\triangle MPN$において、

$\frac{MN}{\sin{\angle MPN}} = OP$

$\angle MPN$について考えます。

$\angle MON = 120^\circ$なので、円周角の定理より、

$\angle MPN = \angle MON = 120^\circ$

よって、$MN = OP \cdot \sin{\angle MPN}$

$MN = 10 \cdot \sin{120^\circ}$

$\sin{120^\circ} = \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$MN = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$MN = 5\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$5\sqrt{3}$ cm