三角形OABが条件1（AB = 2|OA|）と条件2（∠AOB = $\frac{2}{3}\pi$）を満たすとき、複素数平面上で点$z = \frac{\beta}{\alpha}$がどのような円周上にあるかを求め、$z$を$x+yi$の形で表す。

1. 問題の内容

三角形OABが条件1（AB = 2|OA|）と条件2（∠AOB = $\frac{2}{3}\pi$）を満たすとき、複素数平面上で点$z = \frac{\beta}{\alpha}$がどのような円周上にあるかを求め、$z$を$x+yi$の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、条件1より、$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$だから、$\vec{OB} = \beta$, $\vec{OA} = \alpha$とすると、$\vec{AB} = \beta - \alpha$である。条件1は $|\beta - \alpha| = 2|\alpha|$と表せる。

$z = \frac{\beta}{\alpha}$とおくと、$\beta = z\alpha$となるから、これを $|\beta - \alpha| = 2|\alpha|$に代入すると、 $|z\alpha - \alpha| = 2|\alpha|$となり、 $|\alpha(z-1)| = 2|\alpha|$。 $|\alpha| \neq 0$であるから $|z-1| = 2$となる。

よって、$z$は複素数平面上で点1を中心とする半径2の円周上にある。

条件2より、$\beta = z\alpha$だから、$z$は原点を中心とする半径$r$の円周上の点であり、$\angle AOB = \frac{2}{3}\pi$だから、$z = r(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi)$と表せる。

$\cos\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}$, $\sin\frac{2}{3}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるから、 $z = r(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{r}{2} + i\frac{r\sqrt{3}}{2}$である。

$z = x + yi$とすると、$x = -\frac{r}{2}, y = \frac{r\sqrt{3}}{2}$。

よって、$r = -2x$であるから、$y = \frac{-2x\sqrt{3}}{2} = -x\sqrt{3}$。

点$z$は $|z-1| = 2$を満たすので、 $z = x + yi$を代入すると、 $|x+yi-1| = 2$。つまり、 $|(x-1) + yi| = 2$。

$(x-1)^2 + y^2 = 4$。 $y = -x\sqrt{3}$を代入すると、 $(x-1)^2 + 3x^2 = 4$。

$x^2 - 2x + 1 + 3x^2 = 4$。 $4x^2 - 2x - 3 = 0$。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$。

$x < 0$より、$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$。

$y = -x\sqrt{3} = -\frac{1 - \sqrt{13}}{4}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{13} - 1)}{4}$。

したがって、$z = \frac{1 - \sqrt{13}}{4} + i\frac{\sqrt{3}(\sqrt{13} - 1)}{4}$。

3. 最終的な答え

カ: 2

キ: |α|

ク: 1

ケ: 2

コ: -1

サ: 2

シ: 2

ス: 3

セ: 2

ソ: -√3

タ: 1

チツ: 13

テ: 4

ト: 3

ナニ: 3(13 - 1)

ヌ: 4

$z = \frac{1 - \sqrt{13}}{4} + i\frac{\sqrt{3}(\sqrt{13} - 1)}{4}$