$xyz$ 空間において、原点 $O(0, 0, 0)$ と定点 $A(1, 1, 1)$ を通る直線を $g$ とする。 (1) 点 $P(\cos\theta, \sin\theta, 0)$ と直線 $g$ との距離 $h(\theta)$ を求める。 (2) $0 \le \theta \le 2\pi$ における $h(\theta)$ の最大値、最小値を求める。

幾何学空間ベクトル距離最大値最小値三角関数
2025/8/2

1. 問題の内容

xyzxyz 空間において、原点 O(0,0,0)O(0, 0, 0) と定点 A(1,1,1)A(1, 1, 1) を通る直線を gg とする。
(1) 点 P(cosθ,sinθ,0)P(\cos\theta, \sin\theta, 0) と直線 gg との距離 h(θ)h(\theta) を求める。
(2) 0θ2π0 \le \theta \le 2\pi における h(θ)h(\theta) の最大値、最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、直線 gg の方向ベクトルを a=OA=(1,1,1)\vec{a} = \vec{OA} = (1, 1, 1) とする。
直線 gg 上の点を XX とすると、OX=ta=(t,t,t)\vec{OX} = t\vec{a} = (t, t, t) と表せる。
PX=(tcosθ,tsinθ,t)\vec{PX} = (t-\cos\theta, t-\sin\theta, t) となる。
PXPX が直線 gg と直交するとき、PXOAPX \perp OA なので、PXa=0\vec{PX} \cdot \vec{a} = 0 が成り立つ。
(tcosθ)1+(tsinθ)1+t1=0(t-\cos\theta) \cdot 1 + (t-\sin\theta) \cdot 1 + t \cdot 1 = 0
3tcosθsinθ=03t - \cos\theta - \sin\theta = 0
t=cosθ+sinθ3t = \frac{\cos\theta + \sin\theta}{3}
この時の XXX0X_0 とすると、X0=(cosθ+sinθ3,cosθ+sinθ3,cosθ+sinθ3)X_0 = (\frac{\cos\theta + \sin\theta}{3}, \frac{\cos\theta + \sin\theta}{3}, \frac{\cos\theta + \sin\theta}{3})
h(θ)=PX0h(\theta) = |PX_0| であるから、
h(θ)2=(cosθ+sinθ3cosθ)2+(cosθ+sinθ3sinθ)2+(cosθ+sinθ3)2h(\theta)^2 = (\frac{\cos\theta + \sin\theta}{3} - \cos\theta)^2 + (\frac{\cos\theta + \sin\theta}{3} - \sin\theta)^2 + (\frac{\cos\theta + \sin\theta}{3})^2
=(2cosθ+sinθ3)2+(cosθ2sinθ3)2+(cosθ+sinθ3)2= (\frac{-2\cos\theta + \sin\theta}{3})^2 + (\frac{\cos\theta - 2\sin\theta}{3})^2 + (\frac{\cos\theta + \sin\theta}{3})^2
=19(4cos2θ4cosθsinθ+sin2θ+cos2θ4cosθsinθ+4sin2θ+cos2θ+2cosθsinθ+sin2θ)= \frac{1}{9}(4\cos^2\theta - 4\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta + \cos^2\theta - 4\cos\theta\sin\theta + 4\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta)
=19(6cos2θ+6sin2θ6cosθsinθ)= \frac{1}{9}(6\cos^2\theta + 6\sin^2\theta - 6\cos\theta\sin\theta)
=19(63sin2θ)= \frac{1}{9}(6 - 3\sin2\theta)
=2313sin2θ= \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\sin2\theta
よって h(θ)=2313sin2θh(\theta) = \sqrt{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\sin2\theta}
(2) 0θ2π0 \le \theta \le 2\pi より 02θ4π0 \le 2\theta \le 4\pi である。
1sin2θ1-1 \le \sin2\theta \le 1 であるから、
sin2θ=1\sin2\theta = -1 のとき、h(θ)2=2313(1)=33=1h(\theta)^2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}(-1) = \frac{3}{3} = 1 より h(θ)=1h(\theta) = 1 (最大値)
sin2θ=1\sin2\theta = 1 のとき、h(θ)2=2313(1)=13h(\theta)^2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}(1) = \frac{1}{3} より h(θ)=13=33h(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} (最小値)

3. 最終的な答え

(1) h(θ)=2313sin2θh(\theta) = \sqrt{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\sin2\theta}
(2) 最大値: 11, 最小値: 33\frac{\sqrt{3}}{3}

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