四面体OABCがあり、点Gの位置ベクトル$\vec{OG}$が$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$で与えられています。直線AGと三角形OBCの交点をRとするとき、位置ベクトル$\vec{OR}$を$\vec{OB}$と$\vec{OC}$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

四面体OABCがあり、点Gの位置ベクトル$\vec{OG}$が$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$で与えられています。直線AGと三角形OBCの交点をRとするとき、位置ベクトル$\vec{OR}$を$\vec{OB}$と$\vec{OC}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、点Rが直線AG上にあることから、実数$k$を用いて

$\vec{OR} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OG}$

と表せます。$\vec{OG}$の定義を代入すると、

$\vec{OR} = (1-k)\vec{OA} + k\frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4} = (1-k+\frac{k}{4})\vec{OA} + \frac{k}{4}\vec{OB} + \frac{k}{4}\vec{OC}$

となります。整理すると、

$\vec{OR} = (1-\frac{3}{4}k)\vec{OA} + \frac{k}{4}\vec{OB} + \frac{k}{4}\vec{OC}$

となります。

次に、点Rが三角形OBC上にあることから、$\vec{OR}$は$\vec{OB}$と$\vec{OC}$の線形結合で表される必要があります。したがって、$\vec{OA}$の係数は0でなければなりません。よって、

$1-\frac{3}{4}k = 0$

これを解くと、

$k = \frac{4}{3}$

となります。

この$k$の値を$\vec{OR}$の式に代入すると、

$\vec{OR} = \frac{4/3}{4}\vec{OB} + \frac{4/3}{4}\vec{OC} = \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC}$

となります。

3. 最終的な答え

$\vec{OR} = \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC}$