長方形ABCDにおいて、AB=3、BC=10であり、辺BC上にBE:EC=3:2となる点Eをとる。点Eを通り辺BCに垂直な直線と対角線BD、辺ADとの交点をそれぞれF, Gとする。 問1: 線分GFの長さを求める。 問2: 台形CDFEの面積と台形ABFGの面積の比を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=3、BC=10であり、辺BC上にBE:EC=3:2となる点Eをとる。点Eを通り辺BCに垂直な直線と対角線BD、辺ADとの交点をそれぞれF, Gとする。

問1: 線分GFの長さを求める。

問2: 台形CDFEの面積と台形ABFGの面積の比を求める。

2. 解き方の手順

問1:

まず、BEとECの長さを求める。

$BE = \frac{3}{3+2} \times BC = \frac{3}{5} \times 10 = 6$

$EC = \frac{2}{3+2} \times BC = \frac{2}{5} \times 10 = 4$

次に、$\triangle EBF \sim \triangle DBC$より、

$\frac{EF}{CD} = \frac{BE}{BC}$であるから、

$EF = CD \times \frac{BE}{BC} = 3 \times \frac{6}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

また、$\triangle GDF \sim \triangle EBF$より、

$\frac{GD}{BE} = \frac{DF}{BF} = \frac{GF}{EF}$

$\triangle GDF \sim \triangle ADE$より、

$\frac{GF}{EF} = \frac{DG}{BE}$

$\triangle ABF \sim \triangle CDF$であり、$AG = BE = 6$であるから$DG = AD - AG = 10 -6 = 4$

$\frac{AG}{AD}=\frac{AF}{AB}$より

$\frac{AF}{AB} = \frac{BE}{BC}= \frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

したがって、$AF = \frac{3}{5} \times 3 = \frac{9}{5}$

$GF = AG- AF = 3- \frac{9}{5} = \frac{15-9}{5} = \frac{6}{5}$.

問2:

台形CDFEの面積は、$\frac{1}{2} \times (CD + EF) \times EC = \frac{1}{2} \times (3 + \frac{9}{5}) \times 4 = 2 \times (\frac{15+9}{5}) = 2 \times \frac{24}{5} = \frac{48}{5}$

台形ABFGの面積は、$\frac{1}{2} \times (AB + GF) \times BE = \frac{1}{2} \times (3 + \frac{6}{5}) \times 6 = 3 \times (\frac{15+6}{5}) = 3 \times \frac{21}{5} = \frac{63}{5}$

$\frac{\text{台形CDFEの面積}}{\text{台形ABFGの面積}} = \frac{48/5}{63/5} = \frac{48}{63} = \frac{16}{21}$.

3. 最終的な答え

問1: b. 6/5

問2: c. 16/21