$\triangle OAB$ において、$OA = 1, OB = 3, \angle AOB = 120^\circ$ である。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とする。$O$ から直線 $AB$ 上に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、$\overrightarrow{OH}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA = 1, OB = 3, \angle AOB = 120^\circ$ である。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とする。$O$ から直線 $AB$ 上に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、$\overrightarrow{OH}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表せ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OH}$ は直線 $AB$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{AH} = t \overrightarrow{AB}$

と表せる。したがって、

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a}) = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

と表せる。

ここで、$OH \perp AB$ であるから、$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ である。

$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = ((1-t)\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = (1-t) \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) + t \vec{b} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$

$= (1-t)(\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2) + t(|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b}) = (1-t)(\vec{a} \cdot \vec{b} - 1) + t(9 - \vec{a} \cdot \vec{b})$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 120^\circ = 1 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$

したがって、

$(1-t)(-\frac{3}{2} - 1) + t(9 + \frac{3}{2}) = 0$

$(1-t)(-\frac{5}{2}) + t(\frac{21}{2}) = 0$

$-\frac{5}{2} + \frac{5}{2}t + \frac{21}{2} t = 0$

$\frac{26}{2} t = \frac{5}{2}$

$13 t = \frac{5}{2}$

$t = \frac{5}{26}$

よって、

$\overrightarrow{OH} = (1-\frac{5}{26}) \vec{a} + \frac{5}{26} \vec{b} = \frac{21}{26} \vec{a} + \frac{5}{26} \vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OH} = \frac{21}{26} \vec{a} + \frac{5}{26} \vec{b}$