2つの直線 $r \cos(\theta - \frac{\pi}{6}) = 3$ と $r \sin \theta = 3$ の交点Aと、点B$(2, \frac{5\pi}{6})$ を通る直線の極方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $r \cos(\theta - \frac{\pi}{6}) = 3$ と $r \sin \theta = 3$ の交点Aと、点B$(2, \frac{5\pi}{6})$ を通る直線の極方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線の交点Aの極座標を求める。

$r \cos(\theta - \frac{\pi}{6}) = 3$ を変形すると、

$r (\cos \theta \cos \frac{\pi}{6} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{6}) = 3$

$r (\cos \theta \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin \theta \frac{1}{2}) = 3$

$\frac{\sqrt{3}}{2} r \cos \theta + \frac{1}{2} r \sin \theta = 3$

$r \sin \theta = 3$を代入すると、

$\frac{\sqrt{3}}{2} r \cos \theta + \frac{1}{2} (3) = 3$

$\frac{\sqrt{3}}{2} r \cos \theta = \frac{3}{2}$

$r \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

よって、交点Aは $(r \cos \theta, r \sin \theta) = (\sqrt{3}, 3)$を満たす。

$r^2 = (r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$

$r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\tan \theta = \frac{r \sin \theta}{r \cos \theta} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

したがって、交点Aの極座標は $(2\sqrt{3}, \frac{\pi}{3})$である。

次に、2点A$(2\sqrt{3}, \frac{\pi}{3})$とB$(2, \frac{5\pi}{6})$を通る直線の極方程式を求める。

直線の極方程式は、一般に $r \cos(\theta - \alpha) = d$ で表される。

まず、2点の直交座標を求める。

Aの直交座標は $(2\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{3}, 2\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{3}) = (2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}, 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\sqrt{3}, 3)$

Bの直交座標は $(2 \cos \frac{5\pi}{6}, 2 \sin \frac{5\pi}{6}) = (2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 2 \cdot \frac{1}{2}) = (-\sqrt{3}, 1)$

2点$(\sqrt{3}, 3)$と$(-\sqrt{3}, 1)$を通る直線の式は、

傾き $\frac{3-1}{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$y - 3 = \frac{1}{\sqrt{3}} (x - \sqrt{3})$

$y = \frac{1}{\sqrt{3}} x + 2$

$\sqrt{3} y = x + 2\sqrt{3}$

$x - \sqrt{3} y + 2\sqrt{3} = 0$

これを極座標に変換すると、

$r \cos \theta - \sqrt{3} r \sin \theta + 2\sqrt{3} = 0$

$r (\cos \theta - \sqrt{3} \sin \theta) = -2\sqrt{3}$

$r (\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta) = -\sqrt{3}$

$r (\cos \frac{\pi}{3} \cos \theta - \sin \frac{\pi}{3} \sin \theta) = -\sqrt{3}$

$r \cos (\theta + \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$

$r \cos (\theta + \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$r \cos (\theta + \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$