四角形ABCDが平行四辺形であることと、ベクトル $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つことが同値であることを示す。

1. 問題の内容

四角形ABCDが平行四辺形であることと、ベクトル $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つことが同値であることを示す。

2. 解き方の手順

平行四辺形の定義から考えます。四角形ABCDが平行四辺形であることは、$\vec{AB} = \vec{DC}$ かつ $\vec{AD} = \vec{BC}$ が成り立つことと同値です。

$\vec{AC} + \vec{BD}$ を $\vec{AD}$ を用いて書き換えることを目指します。

$\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD}$

したがって、

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AD} + \vec{DC}) + (-\vec{AB} + \vec{AD}) = 2\vec{AD} + \vec{DC} - \vec{AB}$

$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ であることと、 $2\vec{AD} + \vec{DC} - \vec{AB} = 2\vec{AD}$ が同値であることから、 $\vec{DC} - \vec{AB} = \vec{0}$、つまり $\vec{AB} = \vec{DC}$ であることがわかります。

四角形ABCDが平行四辺形ならば、$\vec{AB} = \vec{DC}$ かつ $\vec{AD} = \vec{BC}$ が成り立ちます。いま、$\vec{AB} = \vec{DC}$ がわかっているので、$\vec{AD} = \vec{BC}$ を仮定すれば、四角形ABCDは平行四辺形です。ただし、$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ だけでは $\vec{AD} = \vec{BC}$ は導けません。

しかし、$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ と四角形ABCDが平行四辺形であることは同値であるという主張なので、平行四辺形ならば$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つことを示す必要があります。

四角形ABCDが平行四辺形であれば、$\vec{AB} = \vec{DC}$ が成り立つため、 $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD} + \vec{DC} - \vec{AB} = 2\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{AB} = 2\vec{AD}$ となり、 $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立ちます。

逆に、$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つならば、$\vec{AB} = \vec{DC}$ が成り立ちます。これと $\vec{AD} = \vec{BC}$ を合わせて、四角形ABCDは平行四辺形です。

3. 最終的な答え

四角形ABCDが平行四辺形であることと、$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つことは同値である。