放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に2点 A, B, 放物線 $y = -\frac{1}{4}x^2$ 上に2点 C, D があり、四角形 ABCD は辺 AB が $x$ 軸に平行な長方形である。 (1) 点 A の $x$ 座標が 4 のとき、点 C の座標を求めよ。 (2) 点 A の $x$ 座標が $t$ のとき、辺 AD の長さを、$t$ を使って表せ。 (3) 四角形 ABCD が正方形になるとき、点 A の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に2点 A, B, 放物線 $y = -\frac{1}{4}x^2$ 上に2点 C, D があり、四角形 ABCD は辺 AB が $x$ 軸に平行な長方形である。

(1) 点 A の $x$ 座標が 4 のとき、点 C の座標を求めよ。

(2) 点 A の $x$ 座標が $t$ のとき、辺 AD の長さを、$t$ を使って表せ。

(3) 四角形 ABCD が正方形になるとき、点 A の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 A の $x$ 座標が 4 なので、$y = \frac{1}{2}x^2$ に $x = 4$ を代入して、点 A の $y$ 座標を求める。

$y = \frac{1}{2} \times 4^2 = \frac{1}{2} \times 16 = 8$

点 A の座標は (4, 8) である。

四角形 ABCD は長方形なので、点 C の $y$ 座標は点 A の $y$ 座標と同じである。

したがって、点 C の $y$ 座標は 8 である。

$y = -\frac{1}{4}x^2$ に $y = -8$ を代入して、点 C の $x$ 座標を求める。

$-8 = -\frac{1}{4}x^2$

$x^2 = 32$

$x = \pm \sqrt{32} = \pm 4\sqrt{2}$

点 C は $x < 0$ の範囲にあるので、$x = -4\sqrt{2}$

点 C の座標は $(-4\sqrt{2}, -8)$ である。

(2) 点 A の $x$ 座標が $t$ なので、点 A の $y$ 座標は $\frac{1}{2}t^2$

点 D の $x$ 座標は点 A の $x$ 座標と同じなので、$t$ である。

点 D は $y = -\frac{1}{4}x^2$ 上にあるので、点 D の $y$ 座標は $-\frac{1}{4}t^2$

辺 AD の長さは点 A の $y$ 座標から点 D の $y$ 座標を引いたものなので、

$\frac{1}{2}t^2 - (-\frac{1}{4}t^2) = \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{4}t^2 = \frac{3}{4}t^2$

(3) 四角形 ABCD が正方形なので、AB = AD である。

点 A の $x$ 座標が $t$ なので、点 B の $x$ 座標は $-t$ である。

したがって、AB の長さは $t - (-t) = 2t$ である。

$2t = \frac{3}{4}t^2$

$\frac{3}{4}t^2 - 2t = 0$

$t(\frac{3}{4}t - 2) = 0$

$t = 0$ または $\frac{3}{4}t = 2$

$t = 0$ は条件に合わないので、$\frac{3}{4}t = 2$

$t = \frac{8}{3}$

点 A の $x$ 座標は $\frac{8}{3}$

点 A の $y$ 座標は $\frac{1}{2} (\frac{8}{3})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{64}{9} = \frac{32}{9}$

点 A の座標は $(\frac{8}{3}, \frac{32}{9})$ である。

3. 最終的な答え

(1) C $(-4\sqrt{2}, -8)$

(2) $\frac{3}{4}t^2$

(3) A $(\frac{8}{3}, \frac{32}{9})$