一辺の長さが5の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。∠AMD = θとし、頂点AからMDに下ろした垂線をANとする。 (1) cosθの値を求める。 (2) ANの長さを求める。 (3) BNの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが5の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。∠AMD = θとし、頂点AからMDに下ろした垂線をANとする。

(1) cosθの値を求める。

(2) ANの長さを求める。

(3) BNの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形AMDにおいて、余弦定理を用いる。

AM = DM = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$、AD = 5であるから、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot cos\theta$

$5^2 = (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot cos\theta$

$25 = \frac{75}{4} + \frac{75}{4} - \frac{75}{2} cos\theta$

$25 = \frac{150}{4} - \frac{75}{2} cos\theta$

$100 = 150 - 150 cos\theta$

$150 cos\theta = 50$

$cos\theta = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}$

(2)

三角形AMDの面積を考える。

$\frac{1}{2} \cdot AM \cdot DM \cdot sin\theta = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot AN$

$AN = AM \cdot sin\theta$

$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$ より、

$sin^2\theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$sin\theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$AN = \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

(3)

三角形ANDに三平方の定理を用いる。

$AN^2 + ND^2 = AD^2$

$ND = \sqrt{AD^2 - AN^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{5\sqrt{6}}{3})^2} = \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 6}{9}} = \sqrt{25 - \frac{50}{3}} = \sqrt{\frac{75-50}{3}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

$MD = \frac{5\sqrt{3}}{2}$なので、

$MN = MD - ND = \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{15\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$

三角形ANBに三平方の定理を用いる。

$BN^2 = AN^2 + AB^2 - 2AN \cdot AB \cos\angle NAB$ではなく、

$BN^2 = AN^2 + MN^2$ (仮定)

$BN = \sqrt{AN^2 + MN^2} = \sqrt{(\frac{5\sqrt{6}}{3})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{6})^2} = \sqrt{\frac{25 \cdot 6}{9} + \frac{25 \cdot 3}{36}} = \sqrt{\frac{100}{6} + \frac{25}{12}} = \sqrt{\frac{200+25}{12}} = \sqrt{\frac{225}{12}} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \frac{1}{3}$

(2) $AN = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

(3) $BN = \frac{5\sqrt{3}}{2}$