円 $C: x^2 + y^2 - 6ax - 4ay + 26a - 65 = 0$ が与えられています。 (1) 円Cの中心の座標を求める。 (2) 円Cが定点A, Bを通る時、A, Bの座標を求める。 (3) A, Bにおける円Cの接線の傾きをそれぞれ求める。 (4) A, Bにおける円Cの2本の接線が直交する場合の $a$ の値を求める。 (5) Aにおける円Cの接線が原点を通る時の $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 - 6ax - 4ay + 26a - 65 = 0$ が与えられています。

(1) 円Cの中心の座標を求める。

(2) 円Cが定点A, Bを通る時、A, Bの座標を求める。

(3) A, Bにおける円Cの接線の傾きをそれぞれ求める。

(4) A, Bにおける円Cの2本の接線が直交する場合の $a$ の値を求める。

(5) Aにおける円Cの接線が原点を通る時の $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Cの式を平方完成する。

$x^2 - 6ax + y^2 - 4ay + 26a - 65 = 0$

$(x - 3a)^2 - (3a)^2 + (y - 2a)^2 - (2a)^2 + 26a - 65 = 0$

$(x - 3a)^2 + (y - 2a)^2 = 9a^2 + 4a^2 - 26a + 65$

$(x - 3a)^2 + (y - 2a)^2 = 13a^2 - 26a + 65$

したがって、円Cの中心の座標は $(3a, 2a)$。

(2) 円Cの式を $a$ について整理する。

$x^2 + y^2 - 6ax - 4ay + 26a - 65 = 0$

$x^2 + y^2 - 65 + a(-6x - 4y + 26) = 0$

これが任意の $a$ について成立するためには、

$x^2 + y^2 - 65 = 0$ かつ $-6x - 4y + 26 = 0$

$x^2 + y^2 = 65$ かつ $3x + 2y = 13$

$2y = 13 - 3x$ より $y = \frac{13 - 3x}{2}$。これを $x^2 + y^2 = 65$ に代入すると、

$x^2 + (\frac{13 - 3x}{2})^2 = 65$

$x^2 + \frac{169 - 78x + 9x^2}{4} = 65$

$4x^2 + 169 - 78x + 9x^2 = 260$

$13x^2 - 78x - 91 = 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

$(x - 7)(x + 1) = 0$

$x = 7$ または $x = -1$

$x = 7$ のとき $y = \frac{13 - 3(7)}{2} = \frac{13 - 21}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x = -1$ のとき $y = \frac{13 - 3(-1)}{2} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$

したがって、A(7, -4), B(-1, 8)。

(3) A(7, -4)における円Cの接線の傾き：

円Cの中心(3a, 2a)と点A(7, -4)を通る直線の傾きは $\frac{2a - (-4)}{3a - 7} = \frac{2a + 4}{3a - 7}$

Aにおける円Cの接線の傾きは、この直線に垂直なので、$-\frac{3a - 7}{2a + 4}$

B(-1, 8)における円Cの接線の傾き：

円Cの中心(3a, 2a)と点B(-1, 8)を通る直線の傾きは $\frac{2a - 8}{3a - (-1)} = \frac{2a - 8}{3a + 1}$

Bにおける円Cの接線の傾きは、この直線に垂直なので、$-\frac{3a + 1}{2a - 8}$

(4) A, Bにおける円Cの2本の接線が直交するならば、

$(-\frac{3a - 7}{2a + 4}) (-\frac{3a + 1}{2a - 8}) = -1$

$\frac{(3a - 7)(3a + 1)}{(2a + 4)(2a - 8)} = -1$

$(3a - 7)(3a + 1) = -(2a + 4)(2a - 8)$

$9a^2 - 18a - 7 = -(4a^2 - 8a - 32)$

$9a^2 - 18a - 7 = -4a^2 + 8a + 32$

$13a^2 - 26a - 39 = 0$

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a - 3)(a + 1) = 0$

$a = 3$ または $a = -1$

(5) Aにおける円Cの接線が原点を通るならば、

接線の式は $y + 4 = -\frac{3a - 7}{2a + 4} (x - 7)$

原点(0, 0)を通るので、

$0 + 4 = -\frac{3a - 7}{2a + 4} (0 - 7)$

$4 = \frac{7(3a - 7)}{2a + 4}$

$4(2a + 4) = 21a - 49$

$8a + 16 = 21a - 49$

$13a = 65$

$a = 5$

3. 最終的な答え

円Cの中心の座標は $(3a, 2a)$

A(7, -4), B(-1, 8)

Aにおける円Cの接線の傾き：$-\frac{3a - 7}{2a + 4}$

Bにおける円Cの接線の傾き：$-\frac{3a + 1}{2a - 8}$

$a = 3$ または $a = -1$

$a = 5$