三角形ABCの内角をそれぞれ$A, B, C$とする。 (1) $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$を証明せよ。 (2) $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = 1$を証明せよ。

はい、承知いたしました。与えられた問題とその解法を以下に示します。

1. 問題の内容

三角形ABCの内角をそれぞれ$A, B, C$とする。

(1) $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$を証明せよ。

(2) $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = 1$を証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の内角の和は180°であるから、$A + B + C = 180^\circ$が成り立つ。

したがって、$B + C = 180^\circ - A$となる。

これより、$\frac{B+C}{2} = \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$となる。

$\sin \frac{B+C}{2} = \sin (90^\circ - \frac{A}{2})$

ここで、$\sin(90^\circ - x) = \cos x$の関係を用いると、

$\sin (90^\circ - \frac{A}{2}) = \cos \frac{A}{2}$

よって、$\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$が成り立つ。

(2) (1)と同様に、$B + C = 180^\circ - A$より、$\frac{B+C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$となる。

$\tan \frac{B+C}{2} = \tan (90^\circ - \frac{A}{2})$

ここで、$\tan (90^\circ - x) = \frac{1}{\tan x}$の関係を用いると、

$\tan (90^\circ - \frac{A}{2}) = \frac{1}{\tan \frac{A}{2}}$

$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = \tan \frac{A}{2} \cdot \frac{1}{\tan \frac{A}{2}} = 1$

よって、$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = 1$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$

(2) $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = 1$