長方形ABCDにおいて、AB=6cm, BC=12cmである。点PはAからBへ毎秒1cmで移動し、点QはDからAへ毎秒2cmで移動する。PとQが同時に出発するとき、以下の問いに答える。 (1) $x$秒後のQAの長さを$x$を用いて表す。 (2) △APQの面積が8$cm^2$になるのは何秒後か。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=6cm, BC=12cmである。点PはAからBへ毎秒1cmで移動し、点QはDからAへ毎秒2cmで移動する。PとQが同時に出発するとき、以下の問いに答える。

(1) $x$秒後のQAの長さを$x$を用いて表す。

(2) △APQの面積が8$cm^2$になるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

(1)

$x$秒後のQAの長さを求める。

点QはDからAへ毎秒2cmで移動するので、$x$秒後のDQの長さは$2x$cmである。

ADの長さは12cmなので、$x$秒後のQAの長さは、ADからDQを引いた長さとなる。

したがって、QAの長さは$12-2x$cmである。

(2)

$x$秒後の△APQの面積が8$cm^2$となる$x$を求める。

$x$秒後のAPの長さは、$1x = x$ cmである。

△APQの面積は、$AP \times QA \div 2$で表される。

したがって、△APQの面積は$\frac{1}{2} \times x \times (12 - 2x)$である。

これが8$cm^2$となるので、

$\frac{1}{2} x (12 - 2x) = 8$

$x(12 - 2x) = 16$

$12x - 2x^2 = 16$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

$(x - 2)(x - 4) = 0$

$x = 2, 4$

点PはAからBまで動き、点QはDからAまで動く。

AB = 6 cmより、$x$ は 6秒以下である。

AD = 12 cmより、$2x$ は 12 cm以下なので、$x$は6秒以下である。

したがって、$x=2$と$x=4$はどちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $12 - 2x$ cm

(2) 2秒後と4秒後