与えられた条件から平面の方程式を求める問題です。 (1) 点 $(1, 6, -1)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (2, -1, 4)$ に垂直な平面の方程式を求めます。 (2) 点 $(-4, 3, 1)$ を通り、平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式を求めます。 (3) 3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求めます。

## 平面の方程式

1. 問題の内容

与えられた条件から平面の方程式を求める問題です。

(1) 点 $(1, 6, -1)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (2, -1, 4)$ に垂直な平面の方程式を求めます。

(2) 点 $(-4, 3, 1)$ を通り、平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式を求めます。

(3) 3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

平面上の任意の点を $(x, y, z)$ とすると、その平面上のベクトルは、例えば $(x-1, y-6, z+1)$ と表せます。このベクトルは法線ベクトル $\vec{n}$ と垂直なので、内積が0になります。

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\vec{n} \cdot (x-1, y-6, z+1) = 0

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2(x-1) - (y-6) + 4(z+1) = 0

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2x - 2 - y + 6 + 4z + 4 = 0

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2x - y + 4z + 8 = 0

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(2)

平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式は、$x + 5y - 2z = d$ と表すことができます。この平面が点 $(-4, 3, 1)$ を通るので、この点を代入して $d$ を求めます。

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-4 + 5(3) - 2(1) = d

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-4 + 15 - 2 = d

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d = 9

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したがって、求める平面の方程式は $x + 5y - 2z = 9$ となります。

(3)

3点 $A(1, 2, 3)$, $B(3, 4, 1)$, $C(0, 3, 8)$ を通る平面を求めます。

まず、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を計算します。

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\vec{AB} = (3-1, 4-2, 1-3) = (2, 2, -2)

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\vec{AC} = (0-1, 3-2, 8-3) = (-1, 1, 5)

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次に、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積を計算して、平面の法線ベクトル $\vec{n}$ を求めます。

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\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (2, 2, -2) \times (-1, 1, 5) = (12, -8, 4)

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法線ベクトルは $(12, -8, 4)$ なので、平面の方程式は $12x - 8y + 4z = d$ と表すことができます。点 $A(1, 2, 3)$ を代入して $d$ を求めます。

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12(1) - 8(2) + 4(3) = d

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12 - 16 + 12 = d

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d = 8

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したがって、平面の方程式は $12x - 8y + 4z = 8$ となります。これを簡単にすると、$3x - 2y + z = 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $2x - y + 4z = -8$

(2) $x + 5y - 2z = 9$

(3) $3x - 2y + z = 2$