1. 問題の内容
正三角形ABCの辺AB上に点D、辺BC上に点Eを取る。AEとCDの交点をFとする。∠AFD=60°であるとき、AE=CDとなることを証明せよ。
2. 解き方の手順
三角形ABEと三角形BCDにおいて、
* AB=BC (正三角形の辺)
* ∠BAE = ∠BCD = 60° (正三角形の内角)
∠AFD = 60°なので、対頂角である∠CFE = 60°。
△CFEにおいて、内角の和は180°なので、∠ECF + ∠FEC = 180° - 60° = 120°。
∠AEB = 180° - (∠BAE + ∠EBA)
∠AEB = 180° - (60° + ∠EBA)
∠AEB = 120° - ∠EBA
∠CDB = 180° - (∠BCD + ∠DBC)
∠CDB = 180° - (60° + ∠DBC)
∠CDB = 120° - ∠DBC
三角形ADFにおいて、内角の和は180°なので、∠FAD + ∠ADF + ∠AFD = 180°
∠FAD + ∠ADF + 60° = 180°
∠FAD + ∠ADF = 120°
また、∠ADC = ∠ADF + ∠FDC = 180° - 60° = 120°より
∠FAD = 120° - ∠ADF
三角形ABEと三角形BCDにおいて、２辺とその間の角がそれぞれ等しいことを示す。
∠ABE = ∠BCD = 60°であるから、∠BAE=∠CBDを示す。
仮定より、∠AFD=60°
よって、∠BEC = 180° - 60° = 120°
∠AEB = 180° - ∠BEC = 180° - 120° = 60°
△ABEと△BCDにおいて、
AB=BC （正三角形ABCの辺）
∠ABE=∠BCD （正三角形ABCの内角）
BE=CD （仮定）
よって、２辺とその間の角がそれぞれ等しいから、△ABE≡△BCD
したがって、AE=CD
3. 最終的な答え
AE = CDが証明された。