三角形ABCにおいて、$AB=8$, $AC=5$, $\angle BAC = 60^\circ$である。三角形ABCの外接円をK、Kの中心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとし、直線AOとKの交点のうち、AでないものをEとする。以下の値を求める。 (1) BC (2) 円Kの半径 (3) $\angle OBC$ (4) 三角形ABCの面積を$S_1$, 三角形OBCの面積を$S_2$とするとき、$\frac{S_1}{S_2}$ (5) OD (6) 三角形BDEの面積

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=8$, $AC=5$, $\angle BAC = 60^\circ$である。三角形ABCの外接円をK、Kの中心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとし、直線AOとKの交点のうち、AでないものをEとする。以下の値を求める。

(1) BC

(2) 円Kの半径

(3) $\angle OBC$

(4) 三角形ABCの面積を$S_1$, 三角形OBCの面積を$S_2$とするとき、$\frac{S_1}{S_2}$

(5) OD

(6) 三角形BDEの面積

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$。

$BC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos{60^\circ} = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$。

したがって、$BC = \sqrt{49} = 7$。

(2) 正弦定理より、$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R$。

$R = \frac{BC}{2\sin{\angle BAC}} = \frac{7}{2\sin{60^\circ}} = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$。

(3) 円の中心Oから辺BCに下ろした垂線の足をMとする。

すると、$BM = \frac{1}{2}BC = \frac{7}{2}$。

$\sin{\angle BOM} = \frac{BM}{OB} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{7\sqrt{3}}{3}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

$\angle BOM = 60^\circ$なので、$\angle BOC = 2 \cdot \angle BOM = 2\cdot 60^\circ = 120^\circ$。

$\triangle OBC$は$OB=OC$の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$。

(4) $S_1 = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin{60^\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$。

$S_2 = \frac{1}{2}OB \cdot OC \cdot \sin{\angle BOC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{7\sqrt{3}}{3} \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{49 \cdot 3}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{12}$。

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{49\sqrt{3}}{12}} = 10\sqrt{3} \cdot \frac{12}{49\sqrt{3}} = \frac{120}{49}$。

(5) $\angle BAO = |\angle CAO|$ のとき、$AO$は$\angle BAC$の二等分線となる。しかし、$\angle ABC < \angle ACB$ならば、これは成り立たない。

$AO$は外接円の中心Oを通るので、$AD$は$\angle BAC$を二等分するとは限らない。

$BD:CD = AB:AC = 8:5$ より、$BD = \frac{8}{13}BC = \frac{8}{13} \cdot 7 = \frac{56}{13}$。

方べきの定理より、$AD \cdot DO = BD \cdot DC$。

$\frac{AO}{DO} = \frac{AB+AC}{BC}$。

$AO = \frac{7\sqrt{3}}{3}$。$OD = AO - AD$。

$AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\frac{\angle BAC}{2}}}{AB+AC} = \frac{2\cdot 8 \cdot 5}{13}\cos(30^{\circ})=\frac{80}{13}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{40\sqrt{3}}{13}$。

$\frac{AO}{DO}=\frac{AB+AC}{BC} = \frac{13}{7}$。$DO = AO \times \frac{7}{13}= \frac{7\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{7}{13}=\frac{49\sqrt{3}}{39}$。

(6) $\frac{AD}{AE} = \frac{AC}{AB}$。

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) $30^\circ$

(4) $\frac{120}{49}$

(5) $\frac{49\sqrt{3}}{71}$

(6) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$