三角形ABCにおいて、AB = 8, AC = 5, ∠BAC = 60°である。三角形ABCの外接円をK, その中心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとし、直線AOとKの交点のうちAでないものをEとする。 (1) BCを求める。 (2) 円Kの半径を求める。 (3) ∠OBCを求める。 (4) 三角形ABCの面積をS1、三角形OBCの面積をS2とするとき、S1/S2を求める。 (5) ODを求める。 (6) 三角形BDEの面積を求める。

はい、この数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 8, AC = 5, ∠BAC = 60°である。三角形ABCの外接円をK, その中心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとし、直線AOとKの交点のうちAでないものをEとする。

(1) BCを求める。

(2) 円Kの半径を求める。

(3) ∠OBCを求める。

(4) 三角形ABCの面積をS1、三角形OBCの面積をS2とするとき、S1/S2を求める。

(5) ODを求める。

(6) 三角形BDEの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) BCの計算

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{∠BAC}$

$BC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 89 - 40 = 49$

$BC = 7$

(2) 円Kの半径の計算

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin{∠BAC}} = 2R$

$\frac{7}{\sin{60^\circ}} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) ∠OBCの計算

Oは外心であるから、OA = OB = OC = R。

三角形OBCは二等辺三角形であるから、∠OBC = ∠OCB。

∠BOC = 2∠BAC = 120°。

したがって、∠OBC = (180° - 120°) / 2 = 30°。

(4) S1/S2の計算

S1 = (1/2)AB・AC・sin∠BAC = (1/2) * 8 * 5 * sin60 = 10√3

S2 = (1/2)OB・OC・sin∠BOC = (1/2) * (7√3/3) * (7√3/3) * sin120 = (1/2) * (49*3/9) * (√3/2) = 49√3/12

S1/S2 = (10√3) / (49√3/12) = (10 * 12) / 49 = 120/49

(5) ODの計算

AO = R = 7√3/3

三角形ABCにおいて、角の二等分線の定理より、BD/CD = AB/AC = 8/5

BD + CD = BC = 7

BD = (8/13) * 7 = 56/13

CD = (5/13) * 7 = 35/13

三角形ABDにおいて、メネラウスの定理より、

(AC/CB) * (BD/DA) * (OE/EA) = 1

(5/7) * (56/13)/AD * (OE/EA) = 1

(40/13)/AD * (OE/EA) = 1

(6) 三角形BDEの面積の計算

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) 30°

(4) $\frac{120}{49}$

(5)

(6)