中心が同じ2つの円があり、大きい円の弦ABが小さい円に接している。弦ABの長さが16cmのとき、大きい円と小さい円の間の影をつけた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

中心が同じ2つの円があり、大きい円の弦ABが小さい円に接している。弦ABの長さが16cmのとき、大きい円と小さい円の間の影をつけた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

* 大きい円の半径を$R$、小さい円の半径を$r$とする。

* 円の中心Oから弦ABに垂線OCを下ろすと、OCはABを二等分する。したがって、$AC = BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 16 = 8$ cm。

* OCは小さい円の半径$r$に等しい。したがって、$OC = r$。

* 三角形OCAは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$OA^2 = OC^2 + AC^2$。$OA$は大円の半径なので、$OA = R$。

* したがって、$R^2 = r^2 + 8^2$。

* 影をつけた部分の面積は、大きい円の面積から小さい円の面積を引いたものである。つまり、$\pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$。

* $R^2 - r^2 = 8^2 = 64$ なので、求める面積は$64\pi$。

3. 最終的な答え

$64\pi$ cm$^2$