一辺の長さが 6cm の立方体 ABCDEFGH がある。辺 BF, CG 上にそれぞれ点 I, J が動くとき、線分 AI, IJ, JH の長さの和が最小となる値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが 6cm の立方体 ABCDEFGH がある。辺 BF, CG 上にそれぞれ点 I, J が動くとき、線分 AI, IJ, JH の長さの和が最小となる値を求めよ。

2. 解き方の手順

AI, IJ, JH の長さの和を最小にするには、A, I, J, H が一直線上にあるときである。

立方体の展開図を考える。面 ABFE, BCGF, CDHG を展開して一直線になるように配置する。

A から H への最短経路は、A から H を結ぶ直線となる。

この直線を引いたとき、辺 BF と交わる点が I、辺 CG と交わる点が J となる。

展開図を考えると、AH の長さは、直角三角形の斜辺となる。

直角を挟む2辺の長さは、それぞれ $6+6+6=18$ cm と $6$ cm である。

三平方の定理より、

$AH = \sqrt{18^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = \sqrt{36 \times 10} = 6\sqrt{10}$ cm

3. 最終的な答え

$6\sqrt{10}$ cm