図1は、正六角形の各頂点を中心に、正六角形の辺の長さの半分を半径とする円を描いたものです。斜線を引いたおうぎ形の面積の和をA、斜線を引いていないおうぎ形の面積の和をBとします。 (1) 正六角形の辺の長さが2cmのとき、AとBを求め、B-Aを求めます。 (2) 正n角形の各頂点を中心に、正n角形の辺の長さの半分を半径とする円を描いたとき、B-Aは、正n角形の辺の長さの半分を半径とする円2つ分の面積になる理由を説明します。

1. 問題の内容

図1は、正六角形の各頂点を中心に、正六角形の辺の長さの半分を半径とする円を描いたものです。斜線を引いたおうぎ形の面積の和をA、斜線を引いていないおうぎ形の面積の和をBとします。

(1) 正六角形の辺の長さが2cmのとき、AとBを求め、B-Aを求めます。

(2) 正n角形の各頂点を中心に、正n角形の辺の長さの半分を半径とする円を描いたとき、B-Aは、正n角形の辺の長さの半分を半径とする円2つ分の面積になる理由を説明します。

2. 解き方の手順

(1)

* 正六角形の内角の和は $180° \times (6-2) = 720°$ なので、一つの内角は $720°/6 = 120°$ です。

* Aは斜線部分の扇形の面積の和なので、半径1cm、中心角120°の扇形が6つ集まったものです。よって、

$A = 6 \times (\pi \times 1^2 \times \frac{120}{360}) = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi$ (cm²)

* Bは斜線がない部分の扇形の面積の和です。図形全体からAを引けばBが求められます。

* 図1には半径1cmの円が6つあります。

$6 \times \pi \times 1^2 = 6\pi$

* 円6つ分の面積からAを除いたものがBになります。

$B=6\pi - A = 6\pi - 2\pi = 4\pi$

* $B - A = 4\pi - 2\pi = 2\pi$

(2)

* 正n角形の内角の和は $180° \times (n-2)$ なので、一つの内角は $\frac{180(n-2)}{n}$ です。

* 半径をrとすると、$r = \frac{1}{2} \times$ (正n角形の辺の長さ)

* Aは斜線部分の扇形の面積の和なので、

$A = n \times (\pi \times r^2 \times \frac{\frac{180(n-2)}{n}}{360}) = n \times (\pi r^2 \times \frac{n-2}{2n}) = \frac{n-2}{2} \pi r^2$

* n個の円の面積の合計は $n \pi r^2$

* $B= n\pi r^2 - A = n\pi r^2 - \frac{n-2}{2}\pi r^2 = \frac{2n-n+2}{2} \pi r^2 = \frac{n+2}{2} \pi r^2$

* $B - A = \frac{n+2}{2} \pi r^2 - \frac{n-2}{2} \pi r^2 = \frac{n+2-n+2}{2} \pi r^2 = \frac{4}{2} \pi r^2 = 2\pi r^2$

* 半径rの円の面積は $\pi r^2$ なので、$B-A = 2\pi r^2$ は半径rの円2つ分の面積となります。

* したがって、B-Aは、正n角形の辺の長さの半分を半径とする円2つ分の面積になる。

3. 最終的な答え

(1)

A: $2\pi$ cm²

B: $4\pi$ cm²

B - A: $2\pi$ cm²

(2)

B-Aは、n角形の辺の長さの半分を半径とする円2つ分の面積になる。

理由：

正n角形の各頂点における扇形の中心角の和は、正n角形の内角の和に等しい。正n角形の内角の和は$180(n-2)$度である。よって、斜線部分の面積Aは、$A = n \times (\pi \times r^2 \times \frac{\frac{180(n-2)}{n}}{360}) = \frac{n-2}{2} \pi r^2$で表される。n個の円の面積の合計は $n \pi r^2$ であり、B = $n\pi r^2 - A = \frac{n+2}{2} \pi r^2$となる。したがって、$B-A = \frac{n+2}{2} \pi r^2 - \frac{n-2}{2} \pi r^2 = 2\pi r^2$となり、これは半径rの円2つ分の面積に等しい。