円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = kx + 4$ が異なる2点P, Qで交わっている。 (1) $k$ の値の範囲を求めよ。 (2) 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
2025/8/2
1. 問題の内容
円 と直線 が異なる2点P, Qで交わっている。
(1) の値の範囲を求めよ。
(2) 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
2. 解き方の手順
(1) 円 と直線 が異なる2点で交わる条件を求める。
直線の式を円の式に代入して、 の2次方程式を得る。
この2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 が正である必要がある。
よって、 または 。
(2) 線分PQの中点Mの座標を とする。
解と係数の関係より、。
より、 (ただし、が必要)
これは中心が 、半径が2の円を表す。
ここで、 または という条件から、 の取りうる範囲を考える。
とおくと、
のとき、。
,
のとき、 より、
のとき、 より、
よって、
より、
であり、 または のとき、 なので、
より、 より、
3. 最終的な答え
(1) または
(2) 中心、半径2の円のうち、、、 の部分。