円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = kx + 4$ が異なる2点P, Qで交わっている。 (1) $k$ の値の範囲を求めよ。 (2) 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

幾何学直線軌跡判別式二次方程式
2025/8/2

1. 問題の内容

x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 と直線 y=kx+4y = kx + 4 が異なる2点P, Qで交わっている。
(1) kk の値の範囲を求めよ。
(2) 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 と直線 y=kx+4y = kx + 4 が異なる2点で交わる条件を求める。
直線の式を円の式に代入して、xx の2次方程式を得る。
x2+(kx+4)2=4x^2 + (kx+4)^2 = 4
x2+k2x2+8kx+16=4x^2 + k^2x^2 + 8kx + 16 = 4
(1+k2)x2+8kx+12=0(1+k^2)x^2 + 8kx + 12 = 0
この2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 DD が正である必要がある。
D/4=(4k)2(1+k2)(12)>0D/4 = (4k)^2 - (1+k^2)(12) > 0
16k21212k2>016k^2 - 12 - 12k^2 > 0
4k2>124k^2 > 12
k2>3k^2 > 3
よって、k<3k < -\sqrt{3} または k>3k > \sqrt{3}
(2) 線分PQの中点Mの座標を (X,Y)(X, Y) とする。
解と係数の関係より、x1+x2=8k1+k2x_1 + x_2 = -\frac{8k}{1+k^2}
X=x1+x22=4k1+k2X = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{4k}{1+k^2}
Y=kX+4=4k21+k2+4=4k2+4+4k21+k2=41+k2Y = kX + 4 = -\frac{4k^2}{1+k^2} + 4 = \frac{-4k^2 + 4 + 4k^2}{1+k^2} = \frac{4}{1+k^2}
kX=Y4kX = Y - 4 より、k=Y4Xk = \frac{Y-4}{X} (ただし、X0X \neq 0が必要)
X=4Y4X1+(Y4X)2=4(Y4)XX2+(Y4)2X = -\frac{4\frac{Y-4}{X}}{1+(\frac{Y-4}{X})^2} = -\frac{4(Y-4)X}{X^2 + (Y-4)^2}
X2+(Y4)2=4(Y4)X^2 + (Y-4)^2 = -4(Y-4)
X2+Y28Y+16=4Y+16X^2 + Y^2 - 8Y + 16 = -4Y + 16
X2+Y24Y=0X^2 + Y^2 - 4Y = 0
X2+(Y2)2=4X^2 + (Y-2)^2 = 4
これは中心が (0,2)(0, 2)、半径が2の円を表す。
ここで、k<3k < -\sqrt{3} または k>3k > \sqrt{3} という条件から、X=4k1+k2X = -\frac{4k}{1+k^2} の取りうる範囲を考える。
f(k)=4k1+k2f(k) = -\frac{4k}{1+k^2} とおくと、f(k)=4(1+k2)4k(2k)(1+k2)2=4+4k28k2(1+k2)2=4(k21)(1+k2)2f'(k) = -\frac{4(1+k^2) - 4k(2k)}{(1+k^2)^2} = -\frac{4 + 4k^2 - 8k^2}{(1+k^2)^2} = \frac{4(k^2 - 1)}{(1+k^2)^2}
f(k)=0f'(k) = 0 のとき、k=±1k = \pm 1
f(1)=2f(1) = -2, f(1)=2f(-1) = 2
k<3k < -\sqrt{3} のとき、<k<3-\infty < k < -\sqrt{3} より、 0<X<30 < X < \sqrt{3}
k>3k > \sqrt{3} のとき、3<k<\sqrt{3} < k < \infty より、 3<X<0-\sqrt{3} < X < 0
よって、3<X<3-\sqrt{3} < X < \sqrt{3}
X2+(Y2)2=4X^2 + (Y-2)^2 = 4 より、Y=2±4X2Y = 2 \pm \sqrt{4 - X^2}
Y=41+k2Y = \frac{4}{1+k^2} であり、k<3k < -\sqrt{3} または k>3k > \sqrt{3} のとき、Y=41+k2<41+3=1Y = \frac{4}{1+k^2} < \frac{4}{1+3} = 1 なので、Y=24X2Y = 2 - \sqrt{4 - X^2}
3<X<3-\sqrt{3} < X < \sqrt{3} より、243<Y<22-\sqrt{4-3} < Y < 2 より、1<Y<21 < Y < 2

3. 最終的な答え

(1) k<3k < -\sqrt{3} または k>3k > \sqrt{3}
(2) 中心(0,2)(0, 2)、半径2の円のうち、x2+(y2)2=4x^2 + (y-2)^2 = 43<x<3-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}1<y<21 < y < 2 の部分。

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