三角形ABCにおいて、$AB=8$, $AC=5$, $\angle BAC = 60^\circ$ である。三角形ABCの外接円をK、Kの中心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとし、直線AOとKの交点のうち、AでないものをEとする。 (1) BCの長さを求める。 (2) 円Kの半径を求める。 (3) $\angle OBC$を求める。 (4) 三角形ABCの面積を$S_1$, 三角形OBCの面積を$S_2$とするとき、$\frac{S_1}{S_2}$を求める。 (5) ODの長さを求める。 (6) 三角形BDEの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=8$, $AC=5$, $\angle BAC = 60^\circ$ である。三角形ABCの外接円をK、Kの中心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとし、直線AOとKの交点のうち、AでないものをEとする。

(1) BCの長さを求める。

(2) 円Kの半径を求める。

(3) $\angle OBC$を求める。

(4) 三角形ABCの面積を$S_1$, 三角形OBCの面積を$S_2$とするとき、$\frac{S_1}{S_2}$を求める。

(5) ODの長さを求める。

(6) 三角形BDEの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos{\angle BAC} = 8^2 + 5^2 - 2(8)(5)\cos{60^\circ} = 64 + 25 - 80(\frac{1}{2}) = 89 - 40 = 49$.

よって、$BC = \sqrt{49} = 7$.

(2) 正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R$,

$R = \frac{BC}{2\sin{\angle BAC}} = \frac{7}{2\sin{60^\circ}} = \frac{7}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

(3) $\angle BOC = 2\angle BAC = 2(60^\circ) = 120^\circ$.

三角形OBCはOB=OC=Rの二等辺三角形なので、

$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

(4) $S_1 = \frac{1}{2}(AB)(AC)\sin{\angle BAC} = \frac{1}{2}(8)(5)\sin{60^\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

$S_2 = \frac{1}{2}(OB)(OC)\sin{\angle BOC} = \frac{1}{2}(\frac{7\sqrt{3}}{3})(\frac{7\sqrt{3}}{3})\sin{120^\circ} = \frac{1}{2} (\frac{49 \cdot 3}{9}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{12}$.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{49\sqrt{3}}{12}} = \frac{10\sqrt{3} \cdot 12}{49\sqrt{3}} = \frac{120}{49}$.

(5) $AD$は$\angle BAC$の二等分線なので、$BD:CD = AB:AC = 8:5$.

$BD = \frac{8}{8+5}BC = \frac{8}{13}(7) = \frac{56}{13}$.

$CD = \frac{5}{13}(7) = \frac{35}{13}$.

三角形ABDにおいて、余弦定理より

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2(AB)(BD)\cos{\angle ABD}$

点OからBCに下ろした垂線の足をMとすると、$OM = R\cos{30^\circ} = \frac{7\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7}{2}$.

$DM = \sqrt{OD^2 - OM^2}$

点Oは三角形ABCの外心なので、ADは中線なので、BD = CDとなる。よって、$BD = CD = BC/2 = 7/2$.

$BD:CD = 8:5$より、$BD = \frac{8}{13} \times 7 = \frac{56}{13}$.

$OD = AO - AD = R - AD$.

$AO = R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

$AD = \frac{2AB \cdot AC \cos(A/2)}{AB+AC} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 5 \cos 30^\circ}{8+5} = \frac{80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{13} = \frac{40\sqrt{3}}{13}$.

$OD = \frac{7\sqrt{3}}{3} - \frac{40\sqrt{3}}{13} = \sqrt{3}(\frac{91 - 120}{39}) = \sqrt{3}(\frac{-29}{39})$. これはありえない。

別解：

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC \cos A = 49$.

Area $\triangle ABC = \frac{1}{2} AB AC \sin A = 10\sqrt{3}$.

$S_1 = \frac{abc}{4R} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 7}{4 (\frac{7\sqrt{3}}{3})} = \frac{280}{28\sqrt{3}/3} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3} = OE = OA$.

$OD = \frac{OA \cdot BC}{AB+AC} = OA - AD$.

$OA = OE = R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

$OD = \frac{1}{3} R$.

AD is the median. $OD = \frac{R}{3}$. $AE = 2OD = \frac{2}{3}R$. $S_2 = \frac{S_1}{3} S_1/S_2 = 3 \implies AE = R+RD$.

$AD = \frac{56}{13}$.

OD

$OD = \frac{AO}{3}$.

$OD = \frac{14\sqrt{3}}{9}$

(6) 三角形BDEの面積

$BD = OD$, $AD=DO$

3. 最終的な答え

(1) BC = 7

(2) 円Kの半径 = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) $\angle OBC = 30^\circ$

(4) $\frac{S_1}{S_2} = \frac{120}{49}$

(5) OD =

(6) 三角形BDEの面積