三角形ABCにおいて、$AB = 8$, $AC = 5$, $\angle BAC = 60^\circ$である。三角形ABCの外接円をK、Kの中心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとし、直線AOとKの交点のうち、AでないものをEとする。このとき、以下の値を求める。 (1) BC (2) 円Kの半径 (3) $\angle OBC$ (4) 三角形ABCの面積を$S_1$, 三角形OBCの面積を$S_2$とすると、$\frac{S_1}{S_2}$ (5) OD (6) 三角形BDEの面積

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 8$, $AC = 5$, $\angle BAC = 60^\circ$である。三角形ABCの外接円をK、Kの中心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとし、直線AOとKの交点のうち、AでないものをEとする。このとき、以下の値を求める。

(1) BC

(2) 円Kの半径

(3) $\angle OBC$

(4) 三角形ABCの面積を$S_1$, 三角形OBCの面積を$S_2$とすると、$\frac{S_1}{S_2}$

(5) OD

(6) 三角形BDEの面積

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$BC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

$BC = 7$

(2) 正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$\frac{7}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) $\angle BOC = 2\angle BAC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

OB = OCより、$\triangle OBC$は二等辺三角形なので、

$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$

(4) $S_1 = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

$S_2 = \frac{1}{2}OB \cdot OC \cdot \sin \angle BOC = \frac{1}{2}R^2 \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{49 \cdot 3}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{12}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{49\sqrt{3}}{12}} = \frac{10 \cdot 12}{49} = \frac{120}{49}$

(5) $AO = \frac{7\sqrt{3}}{3}$, $\angle BAD = \angle CAD = 30^\circ$.

$AD$は$\angle BAC$の二等分線だから、$BD:DC = AB:AC = 8:5$

$BD = \frac{8}{13}BC = \frac{8}{13} \cdot 7 = \frac{56}{13}$

$\triangle ABD$において、$\frac{BD}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin \angle ADB}$

$\frac{\frac{56}{13}}{\frac{1}{2}} = \frac{8}{\sin \angle ADB}$

$\frac{112}{13} = \frac{8}{\sin \angle ADB}$

$\sin \angle ADB = \frac{8 \cdot 13}{112} = \frac{13}{14}$

$OD = R \cos 30 = R - AD$, $AD = \frac{AB \cdot AC}{AB+AC} cos (\frac{A}{2}) = \frac{8\cdot 5}{8+5}\cos(30) = \frac{40}{13} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20\sqrt{3}}{13}$

$OD = R - AD = \frac{7\sqrt{3}}{3} - \frac{20\sqrt{3}}{13} = \frac{91\sqrt{3}-60\sqrt{3}}{39} = \frac{31\sqrt{3}}{39} = \frac{343\sqrt{3}}{507}$

(6) $AD = \frac{20\sqrt{3}}{13}, AE = 2R = \frac{14\sqrt{3}}{3}$. $DE = AE - AD = \frac{14\sqrt{3}}{3} - \frac{20\sqrt{3}}{13} = \frac{182\sqrt{3} - 60\sqrt{3}}{39} = \frac{122\sqrt{3}}{39}$.

$\angle BDE = \angle ADE$

$\frac{1}{2} BD\cdot DE \sin (\pi/6) =$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) 30°

(4) $\frac{120}{49}$

(5) $\frac{343\sqrt{3}}{507}$

(6) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$