半径 $R$ の円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = 3$, $BC = CD = 1$, $AD = 2$ である。 (1) 対角線 $AC$ の長さを求める。 (2) 円の半径 $R$ を求める。

1. 問題の内容

半径 $R$ の円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = 3$, $BC = CD = 1$, $AD = 2$ である。

(1) 対角線 $AC$ の長さを求める。

(2) 円の半径 $R$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線 $AC$ の長さを求める。

四角形 $ABCD$ は円に内接するので、トレミーの定理より、

$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$

$3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = AC \cdot BD$

$5 = AC \cdot BD$

また、$\angle ABC = \theta$ とおくと、円に内接する四角形の対角の和は180度であるから、$\angle ADC = 180^\circ - \theta$ となる。

$\triangle ABC$ において、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 10 - 6 \cos \theta$

$\triangle ADC$ において、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 5 + 4 \cos \theta$

したがって、

$10 - 6 \cos \theta = 5 + 4 \cos \theta$

$5 = 10 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$

$\theta = 60^\circ$

$AC^2 = 10 - 6 \cos \theta = 10 - 6 \cdot \frac{1}{2} = 10 - 3 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

(2) 円の半径 $R$ を求める。

$\triangle ABC$ において、正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin \theta} = 2R$

$\frac{\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$R = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3} = \frac{\sqrt{21}}{3} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$R = \frac{\sqrt{21}}{3} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \sqrt{7}$

(2) $R = \frac{\sqrt{21}}{3}$