一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとし、$\angle AMD = \theta$とする。頂点AからMDに下ろした垂線をANとする。 (1) $\cos\theta$の値を求めよ。 (2) ANの長さを求めよ。 (3) BNの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとし、$\angle AMD = \theta$とする。頂点AからMDに下ろした垂線をANとする。

(1) $\cos\theta$の値を求めよ。

(2) ANの長さを求めよ。

(3) BNの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta$を求める。

AMとDMは正三角形ABCとDBCの中線であるから、

$AM = DM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$

また、AD = 2であるから、$\triangle AMD$において余弦定理より

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2AM \cdot DM \cos\theta$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \cos\theta$

$4 = 3 + 3 - 6\cos\theta$

$6\cos\theta = 2$

$\cos\theta = \frac{1}{3}$

(2) ANの長さを求める。

$\triangle AMD$の面積を考えると、

$\frac{1}{2} AM \cdot DM \sin\theta = \frac{1}{2} MD \cdot AN$

$\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$なので、$\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \times 2 \times AN$

$\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 2 \times AN$

$AN = \sqrt{2}$

(3) BNの長さを求める。

MN = $x$とすると、DN = $\sqrt{3} - x$

$\triangle AMN$において、$AM^2 = AN^2 + MN^2$

$(\sqrt{3})^2 = AN^2+MN^2$だから、AN^2 = $3-x^2$となる。

$\triangle ADN$において、$AD^2 = AN^2 + DN^2$

$2^2 = (\sqrt{2})^2 + DN^2$なので、$DN = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$

したがって、$MN = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

次に、$\triangle BMN$において、$BN^2 = BM^2 + MN^2 - 2BM \cdot MN \cos(\angle BMN)$

$\angle BMN = 180 - \theta$だから、$\cos\angle BMN = -\cos\theta$

$BN^2 = 1^2 + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 - 2 \times 1 \times (\sqrt{3}-\sqrt{2})\times(-\frac{1}{3})$

$= 1 + (3 - 2\sqrt{6} + 2) + \frac{2}{3} (\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$= 6-2\sqrt{6} + \frac{2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{3}$

$= 6+\frac{2}{3} \sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{2} -2\sqrt{6}$

$AN = \sqrt{2}$なので、

$NM = \sqrt{AM^2 - AN^2} = \sqrt{3 - 2} = 1$

したがって、DN = DM - NM = $\sqrt{3} - 1$

$\triangle ADN$において、$AN^2 = AD^2 - DN^2 = 4 - (\sqrt{3}-1)^2 = 4-(3-2\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}$なので、$AN = \sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt[4]{12} = \sqrt[4]{2^2 \times 3}$

$\cos\theta = \frac{AM^2 + DM^2 - AD^2}{2AM\cdot DM} = \frac{3+3-4}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$なので、$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$AN = AM\sin\theta = \sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

$MN = AM\cos\theta = \sqrt{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$BN^2 = BM^2 + MN^2 = 1 + \frac{3}{9} = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$BN = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \frac{1}{3}$

(2) $AN = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

(3) $BN = \frac{2\sqrt{3}}{3}$