三角形ABCにおいて、$a=10$, $A=120^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$b$を求め、さらにこの三角形の外接円の半径$R$を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=10$, $A=120^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$b$を求め、さらにこの三角形の外接円の半径$R$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$b$の値を求めるために正弦定理を利用します。正弦定理は以下の式で表されます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

この問題では、$a$, $A$, $B$が与えられているので、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$を用いて$b$を求めることができます。

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

与えられた値を代入すると、

$\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

両辺に$\frac{\sqrt{2}}{2}$をかけると、

$b = \frac{10 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{6}}{3}$

次に、外接円の半径$R$を求めます。正弦定理より、

$2R = \frac{a}{\sin A}$

$a=10$, $A=120^\circ$を代入すると、

$2R = \frac{10}{\sin 120^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$

したがって、

$R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$b = \frac{10\sqrt{6}}{3}$

$R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$