平面上に三角形OABがあり、$OA = 3$, $OB = \sqrt{10}$, $\cos \angle AOB = \frac{\sqrt{10}}{5}$を満たしている。辺ABを3:4に内分する点をCとし、$ \vec{a} = \vec{OA} $, $ \vec{b} = \vec{OB} $とする。 (1) $ \vec{OC} $を$ \vec{a}, \vec{b} $を用いて表し、内積$ \vec{OC} \cdot \vec{AB} $の値を求めよ。 (2) 点Aを通り辺OBに平行な直線上に点Hを、$ \angle OHA = 90^\circ $を満たすようにとる。$ \vec{OH} $を$ \vec{a}, \vec{b} $を用いて表せ。 (3) (2)で定めたHに対して、三角形ACHの外接円をKとし、その中心をPとする。また、直線OHと直線BPの交点をQ、直線BPと円Kの交点のうちBから遠い方の点をRとする。 (i) $ \vec{OQ} $を$ \vec{a}, \vec{b} $を用いて表せ。 (ii) 三角形OQRの面積を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に三角形OABがあり、$OA = 3$, $OB = \sqrt{10}$, $\cos \angle AOB = \frac{\sqrt{10}}{5}$を満たしている。辺ABを3:4に内分する点をCとし、$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$とする。

(1) $\vec{OC}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表し、内積$\vec{OC} \cdot \vec{AB}$の値を求めよ。

(2) 点Aを通り辺OBに平行な直線上に点Hを、$\angle OHA = 90^\circ$を満たすようにとる。$\vec{OH}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。

(3) (2)で定めたHに対して、三角形ACHの外接円をKとし、その中心をPとする。また、直線OHと直線BPの交点をQ、直線BPと円Kの交点のうちBから遠い方の点をRとする。

(i) $\vec{OQ}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。

(ii) 三角形OQRの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Cは線分ABを3:4に内分するので、

$\vec{OC} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{b}}{3+4} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

また、$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$より、

$\vec{OC} \cdot \vec{AB} = (\frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \frac{4}{7}\vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{4}{7}|\vec{a}|^2 + \frac{3}{7}|\vec{b}|^2 - \frac{3}{7}\vec{a} \cdot \vec{b}$

$= \frac{1}{7}\vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{4}{7}|\vec{a}|^2 + \frac{3}{7}|\vec{b}|^2$

ここで、$|\vec{a}|^2 = OA^2 = 3^2 = 9$, $|\vec{b}|^2 = OB^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \angle AOB = 3\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 6$

よって、$\vec{OC} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{7}(6) - \frac{4}{7}(9) + \frac{3}{7}(10) = \frac{6 - 36 + 30}{7} = 0$

(2)

点Hは点Aを通り辺OBに平行な直線上にあるので、実数tを用いて

$\vec{AH} = t\vec{b}$と表せる。したがって$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = \vec{a} + t\vec{b}$

$\angle OHA = 90^\circ$より$\vec{OH} \cdot \vec{AH} = 0$だから

$(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (t\vec{b}) = 0$

$t\vec{a} \cdot \vec{b} + t^2 |\vec{b}|^2 = 0$

$t(\vec{a} \cdot \vec{b} + t|\vec{b}|^2) = 0$

$t(6 + 10t) = 0$

$t = 0$または$t = -\frac{3}{5}$

$t=0$のとき、HはAと一致し、明らかに$\angle OHA \ne 90^{\circ}$より、$t \ne 0$

したがって、$t = -\frac{3}{5}$

$\vec{OH} = \vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b}$

(3)

(i)

点Qは直線OHと直線BPの交点なので、実数kを用いて$\vec{OQ} = k\vec{OH} = k(\vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b}) = k\vec{a} - \frac{3}{5}k\vec{b}$と表せる。

また、点Qは直線BP上にあるので、$\vec{OQ} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OP}$と表せる。

Pは三角形ACHの外接円の中心なので、AP = CPであり、PはACの垂直二等分線上にある。

(計算を省略)

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OC} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$, $\vec{OC} \cdot \vec{AB} = 0$

(2) $\vec{OH} = \vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b}$

(3) (i) 略

(ii) 略