空間内に点 O(0,0,0), A(0,0,1), B(3,0,0), C(0,3,0) がある。点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とする。$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ と表すとき、$s$ と $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

空間内に点 O(0,0,0), A(0,0,1), B(3,0,0), C(0,3,0) がある。点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とする。$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ と表すとき、$s$ と $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (3, 0, 0) - (0, 0, 1) = (3, 0, -1)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (0, 3, 0) - (0, 0, 1) = (0, 3, -1)$

$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ なので、$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = \vec{OA} + s\vec{AB} + t\vec{AC}$ となる。

$\vec{OH} = (0, 0, 1) + s(3, 0, -1) + t(0, 3, -1) = (3s, 3t, 1 - s - t)$

点 H は平面 ABC 上にあるので、$\vec{AH}$ は平面 ABC 上のベクトルである。また、点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足が H であるから、$\vec{OH}$ は平面 ABC と垂直である。したがって、$\vec{OH}$ は $\vec{AB}$ および $\vec{AC}$ と直交する。つまり、内積が 0 となる。

$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$ より、

$(3s, 3t, 1 - s - t) \cdot (3, 0, -1) = 9s - (1 - s - t) = 10s + t - 1 = 0$

$10s + t = 1$ ...(1)

$\vec{OH} \cdot \vec{AC} = 0$ より、

$(3s, 3t, 1 - s - t) \cdot (0, 3, -1) = 9t - (1 - s - t) = s + 10t - 1 = 0$

$s + 10t = 1$ ...(2)

(1)式と(2)式を連立して解く。

(1) - (2) より、$9s - 9t = 0$ なので $s = t$

これを(1)に代入すると、

$10s + s = 1$

$11s = 1$

$s = \frac{1}{11}$

したがって、$t = \frac{1}{11}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{1}{11}$, $t = \frac{1}{11}$