空間内に点O(0,0,0), A(0,0,1), B(3,0,0), C(0,3,0)がある。点Oから平面ABCに下ろした垂線の交点をHとする。$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ とおいたとき、$s$と$t$の値を求める。

1. 問題の内容

空間内に点O(0,0,0), A(0,0,1), B(3,0,0), C(0,3,0)がある。点Oから平面ABCに下ろした垂線の交点をHとする。$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ とおいたとき、$s$と$t$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (3,0,0) - (0,0,1) = (3,0,-1)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (0,3,0) - (0,0,1) = (0,3,-1)$

したがって、$\vec{AH} = s(3,0,-1) + t(0,3,-1) = (3s, 3t, -s-t)$

$\vec{OH}$ は平面ABCに垂直なので、$\vec{OH}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の両方に垂直である。

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = (0,0,1) + (3s, 3t, -s-t) = (3s, 3t, 1-s-t)$

$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$ より、$(3s, 3t, 1-s-t) \cdot (3,0,-1) = 9s - (1-s-t) = 10s + t - 1 = 0$

$\vec{OH} \cdot \vec{AC} = 0$ より、$(3s, 3t, 1-s-t) \cdot (0,3,-1) = 9t - (1-s-t) = s + 10t - 1 = 0$

2つの式を連立して解く。

$10s + t = 1$

$s + 10t = 1$

上の式から下の式を10倍したものを引くと、

$10s + t - 10(s + 10t) = 1 - 10$

$10s + t - 10s - 100t = -9$

$-99t = -9$

$t = \frac{1}{11}$

$10s + \frac{1}{11} = 1$

$10s = \frac{10}{11}$

$s = \frac{1}{11}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{1}{11}$, $t = \frac{1}{11}$