正の整数 $x$ は7で割ると4余る。このとき、$x^2$ を7で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $x$ は7で割ると4余る。このとき、$x^2$ を7で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$x$ は7で割ると4余るので、$x$ はある整数 $k$ を用いて

$x = 7k + 4$

と表せる。

このとき、$x^2$ は

$x^2 = (7k+4)^2 = 49k^2 + 56k + 16$

と表せる。

$x^2$ を7で割ったときの余りを求めるために、上の式を7で割ることを考える。

$49k^2$ は7で割り切れる。$56k$ も7で割り切れる。

したがって、$x^2$ を7で割った余りは、16を7で割った余りに等しい。

$16 = 7 \cdot 2 + 2$

なので、16を7で割った余りは2である。

したがって、$x^2$ を7で割った余りは2である。

3. 最終的な答え

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