以下の4つの命題を証明する問題です。 (1) 連続する2つの偶数の積は8の倍数である。 (2) 連続する2つの奇数の2乗の和は2の倍数であるが、4の倍数ではない。 (3) 奇数の2乗に3を加えた数は4の倍数である。 (4) 連続する2つの偶数の2乗の和は4の倍数であるが、8の倍数ではない。

1. 問題の内容

以下の4つの命題を証明する問題です。

(1) 連続する2つの偶数の積は8の倍数である。

(2) 連続する2つの奇数の2乗の和は2の倍数であるが、4の倍数ではない。

(3) 奇数の2乗に3を加えた数は4の倍数である。

(4) 連続する2つの偶数の2乗の和は4の倍数であるが、8の倍数ではない。

2. 解き方の手順

(1) 連続する2つの偶数を $2n$、$2n+2$ （$n$は整数）とおく。

積は、$2n(2n+2) = 4n(n+1)$となる。

$n$と$n+1$は連続する整数なので、どちらか一方は偶数である。

よって、$n(n+1)$は偶数なので、$n(n+1)=2k$ （$k$は整数）とおける。

したがって、$4n(n+1) = 4(2k) = 8k$となり、8の倍数である。

(2) 連続する2つの奇数を$2n+1$、$2n+3$ （$n$は整数）とおく。

2乗の和は、$(2n+1)^2 + (2n+3)^2 = 4n^2+4n+1 + 4n^2+12n+9 = 8n^2+16n+10 = 2(4n^2+8n+5)$となる。

よって、2の倍数である。

$4n^2+8n+5 = 4n^2+8n+4+1 = 4(n^2+2n+1)+1 = 4(n+1)^2+1$となる。

$4(n+1)^2+1$は4の倍数に1を足した数なので、4の倍数ではない。

(3) 奇数を$2n+1$ （$n$は整数）とおく。

2乗に3を加えた数は、$(2n+1)^2+3 = 4n^2+4n+1+3 = 4n^2+4n+4 = 4(n^2+n+1)$となる。

よって、4の倍数である。

(4) 連続する2つの偶数を$2n$、$2n+2$ （$n$は整数）とおく。

2乗の和は、$(2n)^2+(2n+2)^2 = 4n^2+4n^2+8n+4 = 8n^2+8n+4 = 4(2n^2+2n+1)$となる。

よって、4の倍数である。

$2n^2+2n+1 = 2n(n+1)+1$となる。

$n(n+1)$は連続する2つの整数の積なので、偶数である。

よって、$n(n+1)=2k$ ($k$は整数) とおける。

$2n(n+1)+1 = 2(2k)+1 = 4k+1$となり、奇数である。

したがって、$4(2n^2+2n+1) = 4(4k+1) = 16k+4 = 8(2k)+4$となり、8で割ると4余る数なので8の倍数ではない。

3. 最終的な答え

(1) 連続する2つの偶数の積は8の倍数である。

(2) 連続する2つの奇数の2乗の和は2の倍数であるが、4の倍数ではない。

(3) 奇数の2乗に3を加えた数は4の倍数である。

(4) 連続する2つの偶数の2乗の和は4の倍数であるが、8の倍数ではない。