$a$ と $b$ は整数であり、$a$ を 7 で割った余りが 3、$b$ を 7 で割った余りが 2 であるとき、次の数を 7 で割った余りを求めよ。 (1) $a+b$ (2) $ab$ (3) $2a+3b$

1. 問題の内容

$a$ と $b$ は整数であり、$a$ を 7 で割った余りが 3、$b$ を 7 で割った余りが 2 であるとき、次の数を 7 で割った余りを求めよ。

(1) $a+b$

(2) $ab$

(3) $2a+3b$

2. 解き方の手順

$a$ と $b$ を 7 で割った余りから、以下の合同式が成り立つ。

$a \equiv 3 \pmod{7}$

$b \equiv 2 \pmod{7}$

(1) $a+b$ を 7 で割った余り

$a+b \equiv 3+2 \pmod{7}$

$a+b \equiv 5 \pmod{7}$

したがって、$a+b$ を 7 で割った余りは 5 である。

(2) $ab$ を 7 で割った余り

$ab \equiv 3 \times 2 \pmod{7}$

$ab \equiv 6 \pmod{7}$

したがって、$ab$ を 7 で割った余りは 6 である。

(3) $2a+3b$ を 7 で割った余り

$2a \equiv 2 \times 3 \pmod{7}$

$2a \equiv 6 \pmod{7}$

$3b \equiv 3 \times 2 \pmod{7}$

$3b \equiv 6 \pmod{7}$

$2a+3b \equiv 6+6 \pmod{7}$

$2a+3b \equiv 12 \pmod{7}$

$2a+3b \equiv 5 \pmod{7}$

したがって、$2a+3b$ を 7 で割った余りは 5 である。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 6

(3) 5