(1) 399と273の最大公約数を求める。 (2) 方程式 $4x + 3y = 1$ の整数解を1組求める。 (3) 方程式 $4x + 3y = 5$ の整数解をすべて求める。

1. 問題の内容

(1) 399と273の最大公約数を求める。

(2) 方程式 $4x + 3y = 1$ の整数解を1組求める。

(3) 方程式 $4x + 3y = 5$ の整数解をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) ユークリッドの互除法を用いて399と273の最大公約数を求める。

399 ÷ 273 = 1 あまり 126

273 ÷ 126 = 2 あまり 21

126 ÷ 21 = 6 あまり 0

よって、最大公約数は21。

(2) 方程式 $4x + 3y = 1$ の整数解を1組求める。

$4x + 3y = 1$を変形して、$4x = 1 - 3y$。

$x = -2$, $y = 3$とすると、

$4(-2) + 3(3) = -8 + 9 = 1$

したがって、$(x, y) = (-2, 3)$は整数解の一つである。

(3) 方程式 $4x + 3y = 5$ の整数解をすべて求める。

$4x + 3y = 5$を満たす整数解を求める。

$4x + 3y = 1$ の整数解の一つは$(x, y) = (-2, 3)$であるから、$4(-2) + 3(3) = 1$が成り立つ。

この式を5倍すると、$4(-10) + 3(15) = 5$。したがって、$(x, y) = (-10, 15)$は$4x + 3y = 5$の整数解の一つである。

$4x + 3y = 5$と$4(-10) + 3(15) = 5$の差をとると、$4(x + 10) + 3(y - 15) = 0$となる。

$4(x + 10) = -3(y - 15)$

4と3は互いに素であるから、$x + 10 = 3k$ ($k$は整数)と表せる。

$x = 3k - 10$

これを$4(x + 10) = -3(y - 15)$に代入すると、$4(3k) = -3(y - 15)$

$12k = -3(y - 15)$

$-4k = y - 15$

$y = -4k + 15$

したがって、すべての整数解は$(x, y) = (3k - 10, -4k + 15)$ ($k$は整数)。

3. 最終的な答え

(1) 21

(2) (x, y) = (-2, 3) (など)

(3) (x, y) = (3k - 10, -4k + 15) (kは整数)