方程式 $73x + 51y = 1$ の全ての整数解を求める。

1. 問題の内容

方程式 $73x + 51y = 1$ の全ての整数解を求める。

2. 解き方の手順

まず、ユークリッドの互除法を用いて、$73$ と $51$ の最大公約数を求める。

$73 = 51 \cdot 1 + 22$

$51 = 22 \cdot 2 + 7$

$22 = 7 \cdot 3 + 1$

$7 = 1 \cdot 7 + 0$

よって、$73$ と $51$ の最大公約数は $1$ である。

次に、上の式を逆にたどって、$73x + 51y = 1$ を満たす整数解の一つを求める。

$1 = 22 - 7 \cdot 3$

$1 = 22 - (51 - 22 \cdot 2) \cdot 3$

$1 = 22 - 51 \cdot 3 + 22 \cdot 6$

$1 = 22 \cdot 7 - 51 \cdot 3$

$1 = (73 - 51 \cdot 1) \cdot 7 - 51 \cdot 3$

$1 = 73 \cdot 7 - 51 \cdot 7 - 51 \cdot 3$

$1 = 73 \cdot 7 - 51 \cdot 10$

したがって、$73 \cdot 7 + 51 \cdot (-10) = 1$ であるから、$x = 7$, $y = -10$ は $73x + 51y = 1$ の整数解の一つである。

次に、$73x + 51y = 1$ の一般解を求める。

$73x + 51y = 1$

$73 \cdot 7 + 51 \cdot (-10) = 1$

辺々引くと、

$73(x - 7) + 51(y + 10) = 0$

$73(x - 7) = -51(y + 10)$

$73$ と $51$ は互いに素なので、$x - 7$ は $51$ の倍数である。

よって、$x - 7 = 51k$ ($k$ は整数) と表せる。

$x = 51k + 7$

これを $73(x - 7) = -51(y + 10)$ に代入すると、

$73(51k) = -51(y + 10)$

$73k = -(y + 10)$

$y = -73k - 10$

したがって、$73x + 51y = 1$ の一般解は、

$x = 51k + 7$

$y = -73k - 10$ ($k$ は整数)

3. 最終的な答え

$x = 51k + 7$

$y = -73k - 10$ ($k$は整数)