整数 $n$ について、「$n^2 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」という命題を証明します。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^2 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」という命題を証明します。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明します。

対偶は「$n$ が奇数ならば、$n^2 + 1$ は偶数である」となります。

$n$ が奇数であると仮定します。すると、$n$ はある整数 $k$ を用いて $n = 2k + 1$ と表すことができます。

このとき、$n^2 + 1$ は、

$$$$

n^2 + 1 = (2k + 1)^2 + 1

$$$$

と表されます。これを展開すると、

$$$$

n^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 1 + 1 = 4k^2 + 4k + 2 = 2(2k^2 + 2k + 1)

$$$$

となります。ここで、$2k^2 + 2k + 1$ は整数なので、$n^2 + 1$ は 2 の倍数、つまり偶数です。

したがって、$n$ が奇数ならば、$n^2 + 1$ は偶数であることが証明されました。

これは元の命題の対偶が真であることを示しているので、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

「$n^2 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」は証明された。