正の実数 $x, y$ に関する次の命題の真偽を判定し、真ならば証明し、偽ならば反例を挙げる問題です。 (1) $x$ が無理数かつ $y$ が有理数ならば、$x+y$ は無理数である。 (2) $x$ が無理数かつ $y$ が無理数ならば、$x+y$ は無理数である。

1. 問題の内容

正の実数 $x, y$ に関する次の命題の真偽を判定し、真ならば証明し、偽ならば反例を挙げる問題です。

(1) $x$ が無理数かつ $y$ が有理数ならば、$x+y$ は無理数である。

(2) $x$ が無理数かつ $y$ が無理数ならば、$x+y$ は無理数である。

2. 解き方の手順

(1)

命題「$x$ が無理数かつ $y$ が有理数ならば、$x+y$ は無理数である」が真であることを証明します。

背理法を用います。$x+y$ が有理数であると仮定します。

$x+y = r$ ($r$ は有理数)とします。

$x = r - y$ となります。

$r$ と $y$ は有理数なので、$r - y$ も有理数です。

これは、$x$ が無理数であることに矛盾します。

したがって、$x+y$ は無理数でなければなりません。

したがって、命題は真です。

(2)

命題「$x$ が無理数かつ $y$ が無理数ならば、$x+y$ は無理数である」が偽であることを示します。

反例を挙げます。

$x = \sqrt{2}$ と $y = -\sqrt{2}$ を考えます。

$x$ と $y$ はどちらも無理数です。

しかし、$x+y = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ は有理数です。

したがって、命題は偽です。

3. 最終的な答え

(1) 真 (証明は上記参照)

(2) 偽 (反例: $x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$)