$n$ は正の整数とする。以下の2つの条件を満たす $n$ をすべて求める問題です。 (1) $n$ と18の最小公倍数が900 (2) $n$ と28の最小公倍数が7

1. 問題の内容

$n$ は正の整数とする。以下の2つの条件を満たす $n$ をすべて求める問題です。

(1) $n$ と18の最小公倍数が900

(2) $n$ と28の最小公倍数が7

2. 解き方の手順

(1) $n$と18の最小公倍数が900の場合

$n$ と18の最小公倍数が900であることから、

$\text{lcm}(n, 18) = 900$

が成り立ちます。18を素因数分解すると $18 = 2 \times 3^2$ です。

900を素因数分解すると $900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$ です。

$n = 2^a \times 3^b \times 5^c$ とすると、

$\text{lcm}(n, 18) = 2^{\max(a, 1)} \times 3^{\max(b, 2)} \times 5^{\max(c, 0)} = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$

したがって、

$\max(a, 1) = 2$

$\max(b, 2) = 2$

$\max(c, 0) = 2$

よって、$a=2$, $b \le 2$, $c=2$ となります。

$b$ の値は0, 1, 2のいずれかです。

$b=0$ のとき、$n = 2^2 \times 3^0 \times 5^2 = 4 \times 1 \times 25 = 100$

$b=1$ のとき、$n = 2^2 \times 3^1 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300$

$b=2$ のとき、$n = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = 4 \times 9 \times 25 = 900$

よって、$n=100, 300, 900$

(2) $n$と28の最小公倍数が7の場合

$n$ と28の最小公倍数が7であることから、

$\text{lcm}(n, 28) = 7$

が成り立ちます。28を素因数分解すると $28 = 2^2 \times 7$ です。

$n = 2^a \times 7^b$ とすると、

$\text{lcm}(n, 28) = 2^{\max(a, 2)} \times 7^{\max(b, 1)} = 7 = 2^0 \times 7^1$

したがって、

$\max(a, 2) = 0$

$\max(b, 1) = 1$

$\max(a, 2) = 0$ を満たす $a$ は存在しないため、このような $n$ は存在しません。

ただし、最小公倍数が7なので、nと28は両方とも7の約数である必要があります。

28は7の倍数なので、nは7の約数である必要があります。7の約数は1と7なので、

n=1のとき lcm(1,28)=28

n=7のとき lcm(7,28)=28

最小公倍数が7になることはありません。

したがって、条件を満たすnは存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $n = 100, 300, 900$

(2) 存在しない