与えられた三次方程式 $102^3 = 4x^3 + 5x + 4$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた三次方程式 $102^3 = 4x^3 + 5x + 4$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$102^3$を計算します。

$102^3 = 102 \times 102 \times 102 = 1061208$

与えられた方程式は次のようになります。

$1061208 = 4x^3 + 5x + 4$

次に、方程式を整理して、$x$について解きます。

$4x^3 + 5x + 4 - 1061208 = 0$

$4x^3 + 5x - 1061204 = 0$

この三次方程式を解くために、まずは整数解を探します。整数解が存在するならば、それは1061204の約数であるはずです。

$x=63$を代入してみます。

$4(63)^3 + 5(63) - 1061204 = 4(250047) + 315 - 1061204 = 1000188 + 315 - 1061204 = 1000503 - 1061204 = -60701$

$x=64$を代入してみます。

$4(64)^3 + 5(64) - 1061204 = 4(262144) + 320 - 1061204 = 1048576 + 320 - 1061204 = 1048896 - 1061204 = -12308$

$x=65$を代入してみます。

$4(65)^3 + 5(65) - 1061204 = 4(274625) + 325 - 1061204 = 1098500 + 325 - 1061204 = 1098825 - 1061204 = 37621$

$x = 63$, $x = 64$ で負の値であり, $x = 65$ で正の値になったので、$64 < x < 65$ の範囲に解が存在する事がわかる。

$f(x) = 4x^3 + 5x - 1061204$ とおくと、

$f'(x) = 12x^2 + 5$

$f'(x) > 0$ なので、f(x)は単調増加である。よって、解は一つだけ。

厳密解を求めるのは難しいので、近似解を求める。

$x = 64$ のとき $f(64) = -12308$

$x = 65$ のとき $f(65) = 37621$

$x = 64.2$ のとき $f(64.2) = 4(64.2)^3 + 5(64.2) - 1061204 = 4(264609.328) + 321 - 1061204 = 1058437.312 + 321 - 1061204 = 1058758.312 - 1061204 = -2445.688$

$x = 64.3$ のとき $f(64.3) = 4(64.3)^3 + 5(64.3) - 1061204 = 4(265859.407) + 321.5 - 1061204 = 1063437.628 + 321.5 - 1061204 = 1063759.128 - 1061204 = 2555.128$

したがって、$64.2 < x < 64.3$ に解が存在します。

計算機を使って解くと、近似解は $x \approx 64.241$となります。

3. 最終的な答え

$x \approx 64.241$