$a > 0$のとき、不等式 $2a + \frac{3}{a} \ge 2\sqrt{6}$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

1. 問題の内容

$a > 0$のとき、不等式 $2a + \frac{3}{a} \ge 2\sqrt{6}$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の不等式を利用します。$a > 0$なので、$2a > 0$かつ$\frac{3}{a} > 0$です。

相加平均・相乗平均の不等式より、

$$\frac{2a + \frac{3}{a}}{2} \ge \sqrt{2a \cdot \frac{3}{a}}$$

$$\frac{2a + \frac{3}{a}}{2} \ge \sqrt{6}$$

両辺に2をかけて、

$$2a + \frac{3}{a} \ge 2\sqrt{6}$$

これで不等式が証明できました。

等号が成り立つのは、$2a = \frac{3}{a}$のときです。

両辺に$a$をかけると、

$2a^2 = 3$

$a^2 = \frac{3}{2}$

$a = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$

$a>0$より、$a = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

不等式 $2a + \frac{3}{a} \ge 2\sqrt{6}$ は証明された。

等号が成り立つのは、$a = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき。